[논문 리뷰] Unexpected quadratic behaviors for the small-time local null controllability of scalar-input parabolic equations

Karine Beauchard, Frédéric Marbach|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 43인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 선형화가 실패하는 평형점 근처에서 스칼라 입력을 갖는 포아송 방정식의 소규모 시간 국소 영가역성(Null controllability)을 분석한다. 두 가지 새로운 무한차원 2차 행동을 규명한다: 분수 음의 소볼레프 노름을 통한 연속적인 장애물 가족, 그리고 놀랍게도 2차 전개를 통해 소규모 시간 국소 영가역성이 복원되는 것—무한히 많은 방향이 $ H^{-s} $-정규성 제어를 통해 복원될 수 있음을 보여주며, 이는 유한차원에서는 불가능한 현상이다.

ABSTRACT

We consider scalar-input control systems in the vicinity of an equilibrium, at which the linearized systems are not controllable. For finite dimensional control systems, the authors recently classified the possible quadratic behaviors. Quadratic terms introduce coercive drifts in the dynamics, quantified by integer negative Sobolev norms, which are linked to Lie brackets and which prevent smooth small-time local controllability for the full nonlinear system. In the context of nonlinear parabolic equations, we prove that the same obstructions persist. More importantly, we prove that two new behaviors occur, which are impossible in finite dimension. First, there exists a continuous family of quadratic obstructions quantified by fractional negative Sobolev norms or by weighted variations of them. Second, and more strikingly, small-time local null controllability can sometimes be recovered from the quadratic expansion. We also construct a system for which an infinite number of directions are recovered using a quadratic expansion. As in the finite dimensional case, the relation between the regularity of the controls and the strength of the possible quadratic obstructions plays a key role in our analysis.

연구 동기 및 목표

• 선형화된 시스템이 가역성 없을 경우 스칼라 입력을 갖는 포아송 방정식의 소규모 시간 국소 영가역성을 분석하는 것.
• 유한차원 2차 가역성 분류를 무한차원 포아송 시스템으로 확장하는 것.
• 특히 분수 소볼레프 노름을 포함한 무한차원 설정에 특화된 새로운 2차 행동을 식별하고 특성화하는 것.
• 선형 장애물이 존재함에도 불구하고 2차 동역학을 통해 소규모 시간 국소 영가역성이 복원될 수 있는지 조사하는 것.
• 제어의 정규성(예: $ H^{-s} $, $ W^{-n, ho} $)이 가역성에 영향을 주는지 여부를 규명하는 것.

제안 방법

• 노이만 경계 조건을 갖는 스칼라 열 방정식에 의해 제어되는 비선형 포아송 제어 시스템의 2차 전개를 분석한다.
• 고유함수 $ \rho_k(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{2} \cos(kx) $ 를 통한 스펙트럼 분해를 이용해 시스템을 연속적인 상미분방정식으로 투영한다.
• 푸리에 분석과 분수 소볼레프 노름 $ \|f\|_{H^{-s}(\mathbb{R})} $ 을 활용해 제어의 정규성과 그가 2차 드리프트에 미치는 영향을 특성화한다.
• 무한차원에서 연속적인 2차 장애물 가족을 모델링하기 위해 음의 소볼레프 노름의 가중치 변형을 도입한다.
• 플랫니스 메서드와 컴팩트 지지 집합을 갖는 푸리에 변환을 가진 제어 함수의 반복적 구성 방법을 사용해 영가역성을 달성한다.
• 모든 $ s \in (0, \frac{1}{2}) $ 에 대해 $ H^{-s} $ 노름에서 제어 비용의 균일성 추정을 확립하며, 더 강한 노름에서는 비용이 발산함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형화된 시스템이 가역성 없을 경우 포아송 시스템에서 소규모 시간 국소 영가역성이 복원될 수 있는가?
• RQ2 유한차원 대비 무한차원 포아송 시스템에서 나타나는 새로운 2차 행동은 무엇인가?
• RQ3 제어의 분수 음의 소볼레프 노름이 2차 장애물의 존재성과 강도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 2차 전개를 통해 실질적으로 무한히 많은 상실된 방향을 복원할 수 있는가?
• RQ5 2차 드리프트 존재 시, 균일한 소규모 시간 제어 비용 추정을 달성하기 위해 필요한 제어의 최소 정규성은 무엇인가?

주요 결과

• 두 가지 새로운 무한차원 2차 행동이 규명되었다: 분수 음의 소볼레프 노름 또는 그 가중치 변형으로 측정된 연속적인 장애물 가족.
• 선형화된 시스템이 가역성 없더라도 2차 전개를 통해 소규모 시간 국소 영가역성이 복원될 수 있다—이는 유한차원에서는 기대할 수 없는 결과이다.
• $ s \in (0, \frac{1}{2}) $ 인 $ H^{-s} $-정규성 제어를 사용해 무한히 많은 방향이 복원되는 명시적 예가 구성되었으며, 이는 소규모 시간 동안 균일한 제어 비용을 달성한다.
• $ W^{-n, p} $ 노름에서 $ p \in [1, \infty] $ 일 때 제어 비용이 $ T^{-n - m + \frac{1}{p}} $ 와 같이 발산하지만, $ s \in (0, \frac{1}{2}) $ 인 $ H^{-s} $ 노름에서는 비용이 유한하게 유지된다.
• 소규모 시간 동안 제어 비용이 균일하게 유지되는 것은 $ s \in (0, \frac{1}{2}) $ 인 $ H^{-s} $ 노름에서만 가능하며, $ W^{-n+1, \infty} $ 노름에서는 불가능하여 정규성의 날카로운 임계점이 있음을 시사한다.
• 제어의 정규성과 2차 장애물 강도 사이에 비트리비어한 상호작용이 존재하며, $ H^{-s} $ 노름은 더 강한 노름이 실패할 때 복원을 가능하게 한다.