[논문 리뷰] Unified Bessel, Modified Bessel, Spherical Bessel and Bessel-Clifford Functions

Banu Yılmaz Yaşar, Mehmet Ali Özarslan|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 02.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Pochhammer 기호를 사용하여 베셀, 수정 베셀, 구면 베셀, 베셀-클리포드 함수를 포함하는 통합된 Bessel 유형 함수의 가족을 소개한다. 이 일반화를 바탕으로 저자들은 적분 표현식, 변환(Laplace, Mellin), 재귀 관계 및 미분방정식을 유도하며, 기존의 특수함수를 포함하고 특수함수 이론에서 새로운 결과를 도출하는 종합적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In the present paper, unification of Bessel, modified Bessel, spherical Bessel and Bessel-Clifford functions via the generalized Pochhammer symbol [ Srivastava HM, Cetinkaya A, Kıymaz O. A certain generalized Pochhammer symbol and its applications to hypergeometric functions. Applied Mathematics and Computation, 2014, 226 : 484-491] is defined. Several potentially useful properties of the unified family such as generating function, integral representation, Laplace transform and Mellin transform are obtained. Besides, the unified Bessel, modified Bessel, spherical Bessel and Bessel-Clifford functions are given as a series of Bessel functions. Furthermore, the derivatives, recurrence relations and partial differential equation of the so-called unified family are found. Moreover, the Mellin transform of the products of the unified Bessel functions are obtained. Besides, a three-fold integral representation is given for unified Bessel function. Some of the results which are obtained in this paper are new and some of them coincide with the known results in special cases.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 Pochhammer 기호를 사용하여 베셀, 수정 베셀, 구면 베셀, Bessel-Clifford 함수를 하나의 일반화된 가족으로 통합하는 것.
• 통합된 함수 가족에 대한 생성함수, 적분 표현식, Laplace 및 Mellin 변환과 같은 기본 분석적 성질을 도출하는 것.
• 통합된 가족에 대한 재귀 관계, 도함수 및 편미분방정식을 수립하는 것.
• 기존의 특수함수가 통합된 가족의 특수한 경우로 나타남을 보여주는 것.
• 세 중 적분 표현식을 제공하고, 통합된 함수들의 곱의 Mellin 변환을 평가하는 것.

제안 방법

• 통합된 함수는 일반화된 하이퍼기하급수를 사용하여 일반화된 Pochhammer 기호로 정의되며, 고전적 Bessel 유형 함수를 일반화한다.
• 일반화된 Pochhammer 기호는 확장된 베타 함수로부터 구성되어 더 넓은 매개변수 공간을 허용한다.
• 적분 변환과 일반화된 하이퍼기하급수 항등식을 사용하여 적분 표현식(포함하여 세 중 적분)을 도출한다.
• 적분 정의와 일반화된 Pochhammer 기호의 성질을 사용하여 통합된 함수의 Laplace 및 Mellin 변환을 계산한다.
• 급수 표현식을 조작하고 연산자 항등식을 적용하여 재귀 관계와 미분방정식을 도출한다.
• 통합된 함수를 고전적 베셀 함수의 급수로 표현함으로써 기존 함수 클래스와의 연결을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Pochhammer 기호를 사용하여 베셀, 수정 베셀, 구면 베셀, Bessel-Clifford 함수를 하나의 일반화된 함수 가족에 통합할 수 있는가?
• RQ2 이 통합된 함수 가족의 적분, 변환, 미분 성질은 무엇인가?
• RQ3 기존의 특수함수들은 통합된 가족의 극한 경우로 어떻게 나타나는가?
• RQ4 통합된 Bessel 함수 곱의 Mellin 변환의 구조는 무엇인가?
• RQ5 통합된 함수는 고전적 베셀 함수의 급수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 통합된 Bessel 함수는 고전적 베셀 함수의 급수로 표현되며, 일반화된 형태와 고전적 형태 사이의 직접적인 연결을 확립한다.
• 세 중 적분 표현식이 통합된 Bessel 함수에 대해 도출되었으며, 기존의 알려진 적분 형태를 일반화한다.
• 두 개의 통합된 Bessel 함수 곱의 Mellin 변환을 계산하여 일반화된 하이퍼기하급수를 도출한다.
• 통합된 함수는 두 번째 차수의 편미분방정식을 만족하며, 고전적 베셀 미분방정식을 일반화한다.
• 일반화된 Pochhammer 기호를 사용하여 통합된 함수의 Laplace 및 Mellin 변환을 명시적으로 평가한다.
• 매개변수가 표준 값으로 감소할 경우, 고전적 베셀 함수에 대한 기존의 여러 결과가 특수한 경우로 복원된다.