[논문 리뷰] Unified convergence analysis of numerical schemes for a miscible displacement problem

Jérôme Droniou, Robert Eymard외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 65인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다공성 매체에서 가소성 이송 문제를 해결하는 수치적 스킴에 대한 통합 수렴 분석을 제안한다. 그림자 분산 방법(GDM)을 사용하여 최소한의 정규성 가정 하에 근사 농도의 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 수렴을 확립한다. 중심형 및 상류 스킴이 가변 점성도 및 낮은 확산 조건에서 실패하는 것으로 밝혀졌으며, 메esh 크기와 함께 사라지는 등방성 수치적 확산을 통한 안정적이고 정확한 보정을 제안한다.

ABSTRACT

This article performs a unified convergence analysis of a variety of numerical methods for a model of the miscible displacement of one incompressible fluid by another through a porous medium. The unified analysis is enabled through the framework of the gradient discretisation method for diffusion operators on generic grids. We use it to establish a novel convergence result in $L^\\infty(0,T; L^2(\\Omega))$ of the approximate concentration using minimal regularity assumptions on the solution to the continuous problem. The convection term in the concentration equation is discretised using a centred scheme. We present a variety of numerical tests from the literature, as well as a novel analytical test case. The performance of two schemes are compared on these tests; both are poor in the case of variable viscosity, small diffusion and medium to small time steps. We show that upstreaming is not a good option to recover stable and accurate solutions, and we propose a correction to recover stable and accurate schemes for all time steps and all ranges of diffusion.

연구 동기 및 목표

• 다양한 수치 스킴이 적용된 가소성 이송 문제에 대한 통합 수렴 분석을 제공하는 것.
• 최소한의 정규성 가정 하에 시간에 관계없이 균일하고 공간적으로 강한 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 수렴을 확립하는 것.
• 가변 점성도 및 낮은 확산 조건에서 중심형 및 상류 스킴의 불안정성을 규명하고 해결하는 것.
• 모든 시간 단계와 확산 영역에서 안정적이고 정확한 수치 스킴을 구성하기 위해 등방성 수치적 확산을 사용한 보정을 제안하는 것.

제안 방법

• 일반 메쉬에서 수치 스킴을 구성하기 위한 통합 프레임워크로 그림자 분산 방법(GDM)을 사용한다.
• 농도 방정식의 대류 항은 중심형 스킴을 사용하여 이산화한다.
• 최근 개발된 스칼라 탈퇴성 편미분 방정식을 위한 방법을 기반으로 한 새로운 수렴 기법을 적용하여 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 수렴을 달성한다.
• 연속 해에 대한 최소한의 정규성 가정을 분석에 통합하여 강건성을 향상시킨다.
• 두 가지 스킴을 시험한다: 직교 메쉬에서의 유한차분 스킴과 삼각 메쉬에서의 질량 농도 $P^1$ 유한요소 스킴.
• 메쉬 크기와 함께 사라지는 Darcy 속도 크기 비례의 등방성 수치적 확산을 추가하여 보정을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 수치 스킴이 적용된 가소성 이송 문제에 대한 통합 수렴 분석을 개발할 수 있는가?
• RQ2 제안된 프레임워크는 최소한의 정규성 가정 하에 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 수렴을 보장하는가?
• RQ3 왜 중심형 및 상류 스킴은 가변 점성도 및 낮은 확산 조건에서 실패하는가?
• RQ4 모든 시간 단계와 확산 영역에서 잘 작동하는 안정적이고 정확한 수치 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ5 등방성 수치적 확산을 추가함으로써 스킴의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 통합 수렴 분석을 통해 근사 농도의 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 수렴이 확립되었으며, 이는 이전의 $L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 또는 더 약한 노름보다 향상된 결과이다.
• 수치 시험 결과, 점성도가 변동하고 확산이 작을 경우 중심형 및 상류 스킴이 불안정하고 정확하지 못한 결과를 산출하는 것으로 나타났다.
• 가변 점성도 및 낮은 확산 조건에서 상류 스킴이 해를 안정화하지 못하는 것이 입증되었으며, 이는 상류 스킴이 일반적으로 강건하다는 공통된 가정을 도전한다.
• Darcy 속도 크기 비례의 등방성 수치적 확산을 추가하는 보정을 제안하여 모든 시험 조건에서 안정성과 정확성을 보장한다.
• 이 보정은 상류 확산과 동일한 방식으로 메쉬 크기와 함께 사라지므로 일致성과 수렴성을 유지한다.
• 제안된 스킴은 모든 시간 단계와 모든 확산 범위에서 안정적이고 정확한 해를 도출하며, 도전적인 영역에서도 잘 작동한다.