[논문 리뷰] Unified formulation and analysis of mixed and primal discontinuous skeletal methods on polytopal meshes

Daniele Boffi, Daniele A. Di Pietro|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 15.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 54인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 다면체 메esh에서 혼합형 및 원시형 불연속 뼈대 방법에 대한 통합적 공식화를 제시하며, 전역적으로 연결된 불연속 뼈대 자유도를 통해 다양한 고차 방법을 통합한다. 주요 기여는 적절한 조건 하에서 혼합형과 원시형 방법 간의 등가성을 확립하고, 통합 분석을 통해 에너지 노름과 $L^2$ 노름에서 최적 수렴 속도를 도출하는 것이다.

ABSTRACT

We propose in this work a unified formulation of mixed and primal discretization methods on polyhedral meshes hinging on globally coupled degrees of freedom that are discontinuous polynomials on the mesh skeleton. To emphasize this feature, these methods are referred to here as discontinuous skeletal. As a starting point, we define two families of discretizations corresponding, respectively, to mixed and primal formulations of discontinuous skeletal methods. Each family is uniquely identified by prescribing three polynomial degrees defining the degrees of freedom and a stabilization bilinear form which has to satisfy two properties of simple verification: stability and polynomial consistency. Several examples of methods available in the recent literature are shown to belong to either one of those families. We then prove new equivalence results that build a bridge between the two families of methods. Precisely, we show that for any mixed method there exists a corresponding equivalent primal method, and the converse is true provided that the gradients are approximated in suitable spaces. A unified convergence analysis is also carried out delivering optimal error estimates in both energy- and $L^2$-norms.

연구 동기 및 목표

• 공통 프레임워크를 통해 다면체 메쉬에서 혼합형 및 원시형 불연속 뼈대 방법을 통합하기.
• 혼합형 및 원시형 방법 간의 등가성이 성립하는 조건을 규명하며, 특히 기울기 근사와 관련하여 분석하기.
• 에너지 및 $L^2$ 노름에서 최적 오차 추정치를 도출하는 통합 수렴 분석을 제공하기.
• 기존의 다양한 방법들, 예를 들어 하이브리드 고차, 가상 요소, 미메틱 유한차분 방법 등이 제안된 프레임워크에 어떻게 포함되는지 보여주기.

제안 방법

• 요소 및 뼈대 자유도에 대한 세 가지 다항식 차수를 기반으로 두 가지 가족의 이산화 방법—혼합형과 원시형—을 정의한다.
• 안정성(균일한 노름 등가성)과 다항식 일致성만을 요구하는 안정화 이차형식을 도입하여 유효성을 확보한다.
• 면에서 단일값을 가지지만 정점/모서리에서 불연속인 불연속 뼈대 자유도를 사용하여 전역적 결합을 가능하게 한다.
• 혼합형과 원시형 방법 간의 등가성을 증명한다: 모든 혼합형 방법은 해당되는 등가 원시형 방법을 가지며, 반대로 기울기가 적절한 유한차원 공간에서 근사될 경우 등가성이 성립한다.
• 에너지 및 $L^2$ 오차 추정을 활용하여, 타원성 정규성과 프로젝터의 근사 성질을 활용한 통합 수렴 분석을 수행한다.
• 핵심 도구로 파손된 타원성 프로젝션, $L^2$-프로젝터, Tonti 다이어그램과 이산 미분 연산자를 통한 이산적 부분적 적분을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다면체 메쉬에서 혼합형 및 원시형 불연속 뼈대 방법은 단일 공식화 아래 통합될 수 있는가?
• RQ2 혼합형 방법이 원시형 방법과 등가가 되는 조건은 무엇이며, 반대로도 마찬가지인가?
• RQ3 통합 공식화의 에너지 노름과 $L^2$ 노름에서 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 하이브리드 고차, 가상 요소, 미메틱 유한차분 방법과 같은 기존 방법들은 이 통합 프레임워크에 어떻게 포함되는가?
• RQ5 안정성과 수렴성을 보장하기 위해 안정화 이차형식에 대한 최소한의 가정은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 혼합형 불연속 뼈대 방법에 대해 해당되는 등가 원시형 방법이 존재하며, 반대로 기울기가 적절한 유한차원 공간에서 근사될 경우 등가성이 성립함을 규명한다.
• 적절한 정규성 가정 하에 원시형 공식화의 에너지 노름에서 수렴 속도가 $h^{k+2}$의 최적 차수를 보이며, 혼합형 공식화의 $L^2$ 노름에서도 동일한 최적 수렴 속도를 확보한다.
• 통합 분석을 통해 에너지 및 $L^2$ 노름에서 최적 오차 추정치를 도출하였으며, 이는 다항식 차수 $k$와 해의 정규성에 따라 수렴 속도가 결정됨을 보여준다.
• 안정화 이차형식은 안정성(균일한 노름 등가성)과 다항식 일치성이라는 두 가지 단순한 조건만을 만족하면 되므로, 새로운 방법에 대해 검증하기가 용이하다.
• 이 프레임워크는 단순형 메쉬에서의 Raviart–Thomas 및 Crouzeix–Raviart 요소를 포함하여 다양한 기존 방법들을 포괄하며, 이들의 등가성 관계를 다면체 메쉬로 확장한다.
• 분석을 통해 에너지 노름에서는 $k \times k$ 다항식 차수, $L^2$ 노름에서는 $k+1$ 차수에서 최적 수렴을 달성함을 확인하였으며, 오차 한계는 $h^{k+2}$ 비례로 스케일링된다.