[논문 리뷰] Unified integral operator involving generalized Bessel-Maitland function

Waseem Ahmad Khan, Kottakkaran Sooppy Nisar|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 28.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수를 포함하는 통합 적분 연산자를 도입하며, 일반화된 (Wright) 초함수로 표현된 이중 적분 변환을 유도한다. 주요 기여는 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수와 일반화된 미탈레프레 함수를 포함하는 이중 적분의 폐쇄형 평가이며, 다양한 특수한 경우는 매개변수를 특수화하여 기존의 알려진 적분 공식을 복원한다.

ABSTRACT

The main object of this article is to present an interesting double integral involving generalized Bessel-Maitland function defined by Ghaysuddin et al., which is expressed in terms of generalized (Wright) hypergeometric function. We also considered some special cases as an application of the main result.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수를 포함하는 통합 적분 연산자를 개발하여 특수함수와 적분 변환 분야에서 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.
• 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수를 포함하는 이중 적분을 일반화된 (Wright) 초함수로 표현한다.
• 추가 매개변수를 도입하여 베틀, 미탈레프레, 초함수와 관련된 기존의 적분 결과를 일반화한다.
• 고전적 및 일반화된 특수함수를 위한 알려진 적분 공식을 복원하는 특수한 경우를 제공한다.
• 매개변수화된 일반화를 통해 수학 물리학, 공학 및 응용 과학 분야에서 적분 변환의 적용 가능성을 확장한다.

제안 방법

• 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수는 일반화된 Pochhammer 기호와 매개변수 μ, ν, γ, δ, p, q를 사용하여 정의되며, 수렴 조건이 동반된다.
• 단위 정사각형 [0,1]×[0,1]에서의 이중 적분이 (1−x), (1−y), (1−xy)의 거듭제곱과 일반화된 미탈레프레 함수를 포함하여 평가된다.
• 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수의 급수 전개를 사용하고 항별 적분을 통해 적분이 변환된다.
• 유도된 급수는 일반화된 (Wright) 초함수로 식별되어 폐쇄형 표현식이 도출된다.
• 이 방법은 일반화된 (Wright) 초함수의 성질과 급수의 수렴 기준에 기반한다.
• 매개변수의 치환을 적용하여 특수한 경우를 도출하며, 일반화된 형태가 미탈레프레 및 초함수와 같은 알려진 함수로 축소된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수를 위한 통합 이중 적분 연산자를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 베틀-마이틀랜드 함수와 일반화된 미탈레프레 함수를 포함하는 이중 적분의 폐쇄형 평가식은 무엇인가?
• RQ3 매개변수의 특수화가 고전적 특수함수에 대한 알려진 적분 공식을 어떻게 복원하는가?
• RQ4 일반화된 (Wright) 초함수 표현식이 성립하는 수렴 조건은 무엇인가?
• RQ5 통합 형태는 특수함수의 적분 변환 분야에서 이전 결과를 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 주요 결과는 일반화된 (Wright) 초함수로 표현된 이중 적분 변환으로, ∫₀¹∫₀¹ y^λ(1−x)^λ⁻¹(1−y)^μ⁻¹(1−xy)¹⁻λ⁻μ E_η,ν^γ[ay(1−x)(1−y)/(1−xy)²] dx dy = Γ(λ)Γ(μ)/Γ(ν)Γ(λ+μ) × _{q+2}Ψ_{η+2}[Δ(q;γ), λ, μ; Δ(η;ν), Δ(2;λ+μ); aq^q/(4η^η)]이다.
• 특수한 경우 (v)는 p=q=δ=1이고 ν가 ν−1로 대체될 때 결과가 _3Ψ_2 함수로 축소되며, 일반화된 미탈레프레 함수 E_η,ν^γ(z)가 나타난다.
• p=q=δ=γ=1이고 ν=0일 때 결과는 고전적 미탈레프레 함수 E_η(z)를 포함하는 _3Ψ_2 함수로 단순화되며, 식 (3.9)에 나타나 있다.
• 식 (3.6)의 결과는 일반화된 초함수에서 유도된 매개변수를 가진 일반화된 초함수 _3F_{η+2}로 적분을 표현한다.
• 매개변수 제약 조건은 수렴을 보장한다: Re(μ)>0, Re(λ)>0, Re(ν)>0, Re(γ)>0, 그리고 q∈(0,1)∪ℕ이다.
• 통합 형태는 다수의 매개변수를 통합하여 이전 결과를 일반화하며, 매개변수의 특수화를 통해 알려진 공식을 복원할 수 있다.