[논문 리뷰] Uniform approximation of fractional derivatives and integrals with application to fractional differential equations

Hassan Khosravian‐Arab, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 02.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 캡투 및 리만-리우빌 의미에서 분수계 도함수와 적분을 균일하게 근사하는 데에 베르슈타인 다항식을 기반으로 한 수치적 방법을 제안한다. 이는 분수계 미분방정식(FODEs)의 정확하고 안정적인 해를 가능하게 하며, 선형 및 비선형 FODEs에 대해 수렴 속도와 안정성의 엄밀한 증명을 제공한다. 이 방법은 근사 다항식의 분수계 도함수와 적분에 대해 균일 수렴을 달성한다.

ABSTRACT

It is well known that for every $f\in C^m$ there exists a polynomial $p_n$ such that $p^{(k)}_n ightarrow f^{(k)}$, $k=0,\ldots,m$. Here we prove such a result for fractional (non-integer) derivatives. Moreover, a numerical method is proposed for fractional differential equations. The convergence rate and stability of the proposed method are obtained. Illustrative examples are discussed.

연구 동기 및 목표

• 비정수계 도함수와 적분을 포함하는 분수계 미분방정식(FODEs)을 해결하기 위한 즉시 사용 가능한 강력한 수치 알고리즘이 부족한 점을 해결한다.
• 클래식한 바이어슈트라스 근사정리의 일반화로서, 캡투 및 리만-리우빌 분수계 도함수에 대해 베르슈타인 다항식 근사의 균일 수렴을 증명함으로써 이를 분수계 도함수로 확장한다.
• 선형 및 비선형 FODEs를 모두 해결할 수 있는 일반적이고 계산적으로 효율적인 수치적 방법을 베르슈타인 다항식 기반으로 개발한다.
• 기본적인 리프시츠 조건 및 허더 타입 가정 하에 제안된 방법의 이론적 수렴 속도와 안정성 조건을 확립한다.
• 정확한 해가 알려진 경우와 알려지지 않은 비선형 문제를 포함한 수치 예제를 통해 방법의 효능을 시연한다.

제안 방법

• 함수와 그 분수계 도함수의 근사를 위해 베르슈타인 다항식을 사용하며, 이는 함수와 그 도함수를 동시에 근사하는 성질을 활용한다.
• 정수계 도함수의 경우 $ B_n^{(k)}(f;x) \to f^{(k)}(x) $ 가 균일 수렴함을 증명하고, 이를 적분 표현식을 통해 분수계 도함수로 확장한다.
• 리만-리우빌 및 캡투 정의에 따라 베르슈타인 다항식 근사의 분수계 도함수를 적분 연산자 $ (t-z)^{\alpha-1} $ 를 포함하는 형태로 공식화한다.
• 정확한 분수계 연산자와 그 베르슈타인 다항식 근사 간의 차이를 분석하여 분수적 적분 및 도함수 근사의 오차 한계를 유도한다.
• 그론발라 타입 부등식과 미타그레플러 함수 $ E_{\alpha,\alpha}(\cdot) $ 를 사용하여 편향된 FODE의 해 간 차이를 경계함으로써 안정성을 확립한다.
• 시간 간격을 이산화하고, 가우스-레지오드 점 또는 동등한 구적법칙에 기반한 콜로케이션을 통해 유도된 대수방정식계를 풀어 수치적으로 방법을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캡투 및 리만-리우빌 의미에서, 베르슈타인 다항식을 사용하여 분수계 도함수와 적분을 균일하게 근사할 수 있는가?
• RQ2 분수계 도함수 근사에 대해 베르슈타인 다항식의 수렴 속도는 무엇이며, 이는 기저 함수의 매끄러움에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 제안된 근사 방법을 분수계 미분방정식을 해석할 수 있는 수치적 체계에 통합할 수 있는가? 이때 안정성이 보장되는가?
• RQ4 정확한 해가 알려지지 않은 비선형 FODE에 적용했을 때 이 방법의 행동 양태는 어떠한가?
• RQ5 정확한 해가 저차수 다항식인 경우, 다항식 차수 $ n $ 이 증가함에 따라 근사 오차는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 베르슈타인 다항식 $ B_n(f;x) $ 의 $ m $-번째 도함수는 고전적 $ m $-번째 도함수 $ f^{(m)}(x) $ 로 균일 수렴하며, 이는 적분 표현식을 통해 분수계 도함수로 확장된다.
• $ C^p[0,1] $ 에 속하는 함수에 대해, 다항식의 $ p $-번째 도함수는 $ n \to \infty $ 일 때 함수의 $ p $-번째 도함수로 균일 수렴하며, 바르노프스카이의 정리에 따라 $ x(1-x)f''(x) $ 에 의해 지배되는 점근적 오차 항이 존재한다.
• 적절한 매끄러움 조건 하에서 분수계 도함수 근사의 수렴 속도는 $ \mathcal{O}(1/n) $ 로 보여지며, 적분 커널 분석을 통해 오차 한계가 도출된다.
• 우리의 FODE 해법 수치 방법은 우측항에 대한 리프시츠 조건 하에서 안정성이 입증되었으며, 해 오차는 $ C \|f - f'\| $ 로 경계된다. 여기서 $ C $ 는 미타그레플러 함수 $ E_{\alpha,\alpha}(\Lambda t^\alpha) $ 에 의존한다.
• 예제 5.7에서 정확한 해가 차수 5의 다항식인 경우 $ n=5 $ 에서 기계 수준의 정밀도를 달성하며, $ n>5 $ 에서는 오차가 증가함을 확인하여 다항식 해에 대해 방법의 최적성(optimality)을 확인한다.
• 예제 5.6~5.9의 수치 결과는 방법의 효능을 확인하며, 정확한 해가 알려지지 않은 경우에도 선형 및 비선형 FODE에 대해 높은 정밀도를 제공하고, $ n $ 이 증가함에 따라 일관된 수렴을 보인다.