[논문 리뷰] Uniform boundedness of pretangent spaces, local constancy of metric derivatives and strong right upper porosity at a point

Viktoriia Bilet, Oleksiy Dovgoshey외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 11.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거리공간의 한 점에서의 pretangent 공간들의 균일 유계성 조건이 그 점으로부터의 거리 집합이 0에서 완전 강한 투명성(즉, completely strongly porous)임과 동치임을 증명한다. 또한 이 조건이 모든 미적으로 미분 가능한 매핑에 대해 거리 도함수의 국소적 일관성을 보장함을 보이며, 이러한 도함수의 일관성 반경에 대한 날카로운 하한을 제공한다.

ABSTRACT

Let $(X,d,p)$ be a pointed metric space. A pretangent space to $X$ at $p$ is a metric space consisting of some equivalence classes of convergent to $p$ sequences $(x_n), x_n \in X,$ whose degree of convergence is comparable with a given scaling sequence $(r_n), r_n\downarrow 0.$ A scaling sequence $(r_n)$ is normal if this sequence is eventually decreasing and there is $(x_n)$ such that $\mid d(x_n,p)-r_n\mid=o(r_n)$ for $n o\infty.$ Let $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ be the set of pretangent spaces to $X$ at $p$ with normal scaling sequences. We prove that $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ is uniformly bounded if and only if $\{d(x,p): x\in X\}$ is a so-called completely strongly porous set. It is also proved that the uniform boundedness of $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ is an equivalent of the constancy of metric derivatives of all metrically differentiable mappings on $X$ in the open balls of a fixed radius centered at the marked points of pretangent spaces.

연구 동기 및 목표

• 거리공간의 한 점에서 pretangent 공간들의 균일 유계성을 특성화하기 위해.
• 거리 집합 $ S_p(X) = \{d(x,p) : x \in X\} $ 이 0에서의 투명성과 pretangent 공간들의 유계성 간의 관계를 조사하기 위해.
• pretangent 공간들의 균일 유계성과 미적으로 미분 가능한 매핑의 거리 도함수의 일관성 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 균일 유계성 조건 하에서 거리 도함수의 일관성 반경에 대한 날카로운 하한을 결정하기 위해.

제안 방법

• 점 $ p $ 로 수렴하는 수열들의 동치류로서 pretangent 공간을 정의하며, 수렴 속도는 정규 스케일링 수열 $ (r_n) $ 으로 제어한다.
• 정규 스케일링 수열의 개념을 도입하여, $ |d(x_n, p) - r_n| = o(r_n) $ 를 만족함으로써 의미 있는 점근적 행동을 보장한다.
• 모든 정규 스케일링 수열로부터 유도되는 pretangent 공간들의 집합을 $ \Omega_p^X(n) $ 으로 정의한다.
• 균일 이산성과 pretangent 공간 내 서로 다른 점들 사이의 거리의 하한 $ R_*(\Omega_p^X(n)) $ 을 사용하여 유계성 조건을 특성화한다.
• 매핑 $ f: X \to Y $ 의 거리 도함수 $ D^*f $ 는 최대 자기안정성 가족 $ \tilde{X}_{p,\tilde{r}} $ 과 $ \tilde{Y}_{a,\tilde{t}} $ 의 쌍에 대해 정의되며, 그 일관성에 대해 연구한다.
• 지역 일관성의 정도를 수량화하기 위해, $ D^*f $ 가 원점에서의 값과 다름을 처음으로 보이는 점까지의 거리인 $ c_\alpha(D^*f) $ 를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 pretangent 공간들의 집합 $ \Omega_p^X(n) $ 이 균일 유계일까?
• RQ2 균일 유계성 $ \Omega_p^X(n) $ 이 0에서의 거리 집합 $ S_p(X) $ 의 투명성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 pretangent 공간들의 균일 유계성이 모든 미적으로 미분 가능한 매핑의 거리 도함수의 국소적 일관성을 암시하는가?
• RQ4 균일 유계성 조건 하에서 거리 도함수의 일관성 반경에 대한 최적(날카로운) 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 집합 $ \Omega_p^X(n) $ 이 균일 유계일 필요충분조건은 $ S_p(X) $ 가 0에서 완전 강한 투명성임이다.
• 균일 유계성 $ \Omega_p^X(n) $ 은 모든 미적으로 미분 가능한 매핑 $ f $ 에 대해 $ c_\alpha(D^*f) \geq c_X $ 를 만족하는 양수 하한 $ c_X > 0 $ 의 존재와 동치이다. 여기서 $ \alpha $ 는 pretangent 공간의 원점이다.
• $ c_X $ 의 날카로운 하한은 $ \frac{1}{M(\tilde{L})} $ 이며, 여기서 $ M(\tilde{L}) $ 은 pretangent 공간 내 서로 다른 점들 사이의 거리의 역수의 상한이다.
• 균일 이산성 $ \Omega_p^X(n) $ 은 균일 유계성과 동치이며, 이는 $ R_*(\Omega_p^X(n)) = \frac{1}{M(\tilde{L})} > 0 $ 과 동치이다.
• pretangent 공간에서의 항등사상은 $ c_\alpha(id_\Omega) = \frac{1}{M(\tilde{L})} $ 를 달성함으로써 이 하한이 최적임을 확인한다.
• 거리 집합 $ S_p(X) $ 가 0에서 완전 강한 투명성을 만족할 경우, 모든 미적으로 미분 가능한 매핑의 거리 도함수는 반지름 $ \frac{1}{M(\tilde{L})} $ 의 구내에서 국소적으로 일관되며, 이는 도함수 변화의 '국소적 소멸' 형태를 암시한다.