[논문 리뷰] Uniform distribution of subpolynomial functions along primes and applications

Vitaly Bergelson, Grigori Kolesnik외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 17.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 하디 공간 $ H $에 속하는 부분다항식 함수 $ f $가 자연수에서 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것과 그 함수가 소수에서의 값들이 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것이 서로 동치임을 증명한다. 이 동치관계는 에르고딕 이론과 조합론 분야에서의 기존 결과를 크게 일반화할 수 있게 하며, 소수 위에서 다항식 및 부분다항식 수열에 대한 새로운 밀도 및 재귀 정리들을 도출한다. 이는 균일분포 이론과 동역계에서의 재귀 이론 분야의 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

Let $H$ be a Hardy field (a field consisting of germs of real-valued functions at infinity that is closed under differentiation) and let $f \in H$ be a subpolynomial function. Let $\mathcal{P} = \{2, 3, 5, 7, \dots \}$ be the (naturally ordered) set of primes. We show that $(f(n))_{n \in \mathbb{N}}$ is uniformly distributed mod 1 if and only if $(f(p))_{p \in \mathcal{P}}$ is uniformly distributed mod 1. This result is then utilized to derive various ergodic and combinatorial statements which significantly generalize the results obtained in [BKMST].

연구 동기 및 목표

• 하디 공간 $ H $에 속하는 부분다항식 함수 $ f \in H $가 자연수 $ \mathbb{N} $에서 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것과 그 함수의 소수 $ \mathcal{P} $에 대한 제한이 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것 사이의 기본적인 동치관계를 확립하는 것.
• 소수와 다항식 유사 수열을 포함한 재귀 및 밀도 문제에 관해 이전의 에르고딕 및 조합론적 결과를 일반화하는 것.
• 부분다항식 및 다항식 수열이 이동된 소수에서 평가될 때 푸르스텐베르크의 대응원리의 적용 범위를 확장하는 것.
• 집합 $ \{(p-1)^{\alpha_i}, [(p-1)^{\beta_j}] \} $ 이 양의 상부 반바나흐 밀도를 갖는 집합에서 양의 하한 상대밀도를 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 함수의 성장 및 무리성에 대한 약한 조건 하에서 부분다항식 $ f \in H $에 대해 수열 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 가 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 미분에 대해 닫혀 있고 성장이 통제되는 부분다항식 함수를 분석하기 위해 하디 공간 프레임워크를 사용하는 것.
• 웨일의 기준과 지수합 추정을 적용하여 소수 위에서 모듈로 1로 균일분포를 확립하는 것.
• 원주법과 보미에리–비노그라도프 유형 추정을 통해 문제를 소수 위에서 선형 및 다항 위상의 균일분포로 환원하는 것.
• 힐버트 공간에서의 스펙트럼 분해를 유리성분과 완전히 약한 혼합 성분으로 나누어 에르고딕 평균을 분석하는 것.
• 대응원리를 활용하여 에르고딕 결과를 상부 반바나흐 밀도가 양인 집합에 관한 조합론적 진술로 변환하는 것.
• 밀도 분석을 위해 다항식 및 부분다항식 수열을 고차원 구조로 통합하기 위한 선형 사상 $ L $을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하디 공간 $ H $에 속하는 부분다항식 함수 $ f \in H $에 대해, 수열 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 가 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 자연수에서의 수열 $ (f(n))_{n \in \mathbb{N}} $ 가 모듈로 1로 균일분포를 이룬다면, 이는 언제 소수에서의 수열 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 도 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것을 의미합니까?
• RQ3 형태 $ ((p-h)^{\alpha_i}, [(p-h)^{\beta_j}]) $ 의 수열에 沿한 에르고딕 평균이 힐베르트 공간에서 강하게 수렴함을 보일 수 있습니까?
• RQ4 집합 $ D_h = \{ ((p-h)^{\alpha_i}, [(p-h)^{\beta_j}]) \} $ 이 상부 반바나흐 밀도가 양인 집합에서의 상대밀도는 얼마입니까?
• RQ5 소수 위에서 부분다항식 함수의 정수부 및 분수부를 포함하는 수열에 대해 대응원리를 어떻게 수정하여 적용할 수 있습니까?

주요 결과

• 모든 부분다항식 $ f \in H $에 대해, 수열 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ 가 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것과 $ (f(n))_{n \in \mathbb{N}} $ 가 모듈로 1로 균일분포를 이룬다는 것은 서로 동치이다.
• 모든 측도를 보존하는 $ \mathbb{Z}^{k+l} $-작용과 $ \mu(A) > 0 $ 에 대해, $ h = \pm 1 $ 일 때 집합 $ \{ \mathbb{d} \in D_h : \mu(A \cap T^{-\mathbb{d}}A) \geq \mu^2(A) - \epsilon \} $ 는 $ D_h $ 에서 양의 하한 상대밀도를 갖는다.
• 모든 집합 $ E \subset \mathbb{Z}^{k+l} $ 에 대해 $ d^*(E) > 0 $ 이면, $ \{ p \leq N : \text{벡터} \, ((p\pm1)^{\alpha_i}, [(p\pm1)^{\beta_j}]) \in E - E \} $ 의 하한 밀도는 오직 $ d^*(E) $ 에만 의존하는 양의 상한으로 유계이다.
• 이러한 소수의 정규화된 수를 고려한 극한의 하한은 $ \liminf_{N \to \infty} \frac{1}{\pi(N)} \left| \{ p \leq N : \cdots \in E - E \} \right| \geq d^*(E)^2 $ 를 만족한다.
• 지수 $ \alpha_i $ 가 양의 정수이고 $ \beta_j $ 가 양의 비정수일 경우에도 결과가 성립하며, 이는 소수 위에서 다항식 수열에 관한 고전적 결과를 확장한다.
• 이 방법은 유리수 선형조합이 하디 공간 $ H $에 남아 있는 부분다항식 함수 $ \xi_j(p) $ 의 선형조합에도 적용 가능하다.