[논문 리뷰] Uniform in time error estimates for fully discrete numerical schemes of a data assimilation algorithm

Hussain Ibdah, Cecilia F. Mondaini외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 04.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 53인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 2차원 나비에-스토크스 방정식을 해결하기 위한 데이터 아울러션 알고리즘에 대해, 스펙트럴 갈레르킨 공간 근사와 함께 반-및 전-암시적 오일러 시간 이산화를 사용하는 완전 이산 수치 스킴을 제시한다. 수치 해와 기준 해 사이의 $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 시간에 관계없이 일관된 오차 추정치를 명시적으로 확립하며, 시간 스텝 크기와 갈레르킨 모드 수와 무관하게 조건부 안정성과 수렴성을 입증한다.

ABSTRACT

We consider fully discrete numerical schemes for a downscaling data assimilation algorithm aimed at approximating the velocity field of the 2D Navier-Stokes equations corresponding to given coarse mesh observational measurements. The time discretization is done by considering semi- and fully-implicit Euler schemes, and the spatial discretization is based on a spectral Galerkin method. The two fully discrete algorithms are shown to be unconditionally stable, with respect to the size of the time step, number of time steps and the number of Galerkin modes. Moreover, explicit, uniform in time error estimates between the fully discrete solution and the reference solution corresponding to the observational coarse mesh measurements are obtained, in both the $L^2$ and $H^1$ norms. Notably, the two-dimensional Navier-Stokes equations, subject to the no-slip Dirichlet or periodic boundary conditions, are used in this work as a paradigm. The complete analysis that is presented here can be extended to other two- and three-dimensional dissipative systems under the assumption of global existence and uniqueness.

연구 동기 및 목표

• 2차원 나비에-스토크스 방정식을 대상으로 하는 데이터 아울러션 알고리즘에 대한 완전 이산 수치 스킴을 개발하기 위해.
• 粗사 메쉬 관측에서 유도된 수치 해와 기준 해 사이의 시간에 관계없이 일관된 오차 한계를 설정하기 위해.
• 시간 스텝 크기, 시간 스텝 수, 갈레르킨 모드 수와 무관하게 스킴의 조건부 안정성을 보장하기 위해.
• 전역 존재성과 유일성 가정 하에 일반적인 소산성 시스템으로 분석을 확장하기 위해.
• $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 명시적인 오차 추정치를 도출하여 시간이 증가함에 따라 유한하게 유지되도록 하기 위해.

제안 방법

• 시간 이산화에 반-암시적 및 전-암시적 오일러 방법을 사용한다.
• 공간 이산화에 스토크스 연산자의 고유함수를 기반으로 한 스펙트럴 갈레르킨 방법을 적용한다.
• 粗사 스케일 해가 관측 데이터와 일치하도록 수정된 나비에-스토크스 시스템에 피드백 제어(노징) 항 $-\beta I_h(\mathbf{v} - \mathbf{u})$ 를 추가한다.
• 분석 기법으로 에너지 추정치, 복소 평면에서의 해의 해석적 계속성, 해와 그 시간 도함수를 유 bounds하기 위한 코시 적분 추정치를 사용한다.
• 증명은 복소 해석학과 보간 추론을 통한 $\mathcal{D}(A)$-노름과 그 시간 도함수의 균일한 유계성에 기반한다.
• 분석은 무비고, 노징 파라미터 $\beta$, 고유값 $\lambda_1$ 등의 물리적 매개변수에 명시적인 의존성을 포함하며, 비압축성 경계 조건 또는 주기적 경계 조건을 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 데이터 아울러션 알고리즘의 완전 이산 수치 스킴이 시간에 관계없이 일관된 오차 한계를 유지할 수 있는가?
• RQ2 오차 추정치가 시간 스텝 크기, 시간 스텝 수, 갈레르킨 모드 수에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 반- 및 전-암시적 오일러 스킴과 스펙트럴 갈레르킨 공간 이산화를 조합한 경우 조건부 안정성을 어떻게 입증할 수 있는가?
• RQ4 시간이 증가함에 따라 여전히 유효한 $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 명시적인 오차 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 전역 해가 존재하고 유일한 다른 소산성 PDE에 대해 분석을 어느 정도까지 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 완전 이산 스킴은 시간 스텝 크기, 시간 스텝 수, 갈레르킨 모드 수와 무관하게 조건부 안정성을 확보한다.
• 수치 해와 기준 해 사이의 $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 명시적이고 시간에 관계없이 일관된 오차 추정치가 유도되었다.
• 오차 한계는 물리적 매개변수, 즉 점성도 $\nu$, 노징 파라미터 $\beta$, 첫 번째 고유값 $\lambda_1$ 에 대해 명시적으로 의존하며, 그 성장은 $\log(M_1/\nu\lambda_1^{1/2})$ 로 제어된다.
• 해와 그 시간 도함수의 $\mathcal{D}(A)$-노름은 시간에 관계없이 균일하게 유계이며, 장기적 안정성을 보장한다.
• 기존 결과 [26] 보다 $|A\mathbf{u}|$ 및 $|A\partial\mathbf{u}/\partial\xi|$ 에 대한 더 날카운 오차 추정치를 도출하였다.
• 결과는 전역 해가 존재하고 유일한 다른 2차원 및 3차원 소산성 시스템으로 확장 가능하다.