[논문 리뷰] Uniform large deviation principles for Banach space valued stochastic differential equations

Amarjit Budhiraja, Paul Dupuis외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 무한차원에서의 상대적 컴팩트성 부족 문제를 극복하기 위해 이중쌍대 공간을 통한 약-* 위상 접근법을 사용하여, 유계 집합 내의 초기 조건에 대해 바나흐 공간 값 확률미분방정식(SDE)에 대한 균일한 대 deviations 원리(LDP)를 수립한다. 주요 기여는 약-* 컴팩트 집합에서의 균일 라플라스 원리가 원래 바나흐 공간의 유계 집합에서의 균일 LDP를 유도함을 증명하는 것으로, 이는 소음이 작은 SDE의 탈출 시간에 대한 점근 분석을 가능하게 한다. 이는 확률반응-확산 방정식 및 2D 라우아이-니코르스키 방정식과 같은 SPDE에 적용된다.

ABSTRACT

We prove a large deviation principle (LDP) for a general class of Banach space valued stochastic differential equations (SDE) that is uniform with respect to initial conditions in bounded subsets of the Banach space. A key step in the proof is showing that a uniform large deviation principle over compact sets is implied by a uniform over compact sets Laplace principle. Because bounded subsets of infinite dimensional Banach spaces are in general not relatively compact in the norm topology, we embed the Banach space into its double dual and utilize the weak-$\star $ compactness of closed bounded sets in the double dual space. We prove that a modified version of our stochastic differential equation satisfies a uniform Laplace principle over weak-$\star $ compact sets and consequently a uniform over bounded sets large deviation principle. We then transfer this result back to the original equation using a contraction principle. The main motivation for this uniform LDP is to generalize results of Freidlin and Wentzell concerning the behavior of finite dimensional SDEs. Here we apply the uniform LDP to study the asymptotics of exit times from bounded sets of Banach space valued small noise SDE, including reaction diffusion equations with multiplicative noise and $2$-dimensional stochastic Navier-Stokes equations with multiplicative noise.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 노름 위상에서의 상대적 컴팩트성 부족 문제를 고려하여, 유계 초기 조건 집합 전역에서 유효한 바나흐 공간 값 SDE에 대한 균일한 대 deviations 원리(LDP)를 수립하는 것.
• 유한차원 설정에서의 프리드린-웬첼 유형 탈출 시간 점근 해석을 소음이 작은 다중성 소음을 갖는 SDE에 대해 무한차원으로 확장하는 것.
• 원래 바나흐 공간의 유계 집합에서의 균일 LDP를 도출하기 위한 사다리단계로, 이중쌍대 공간에서의 약-* 컴팩트 집합에서의 균일 라플라스 원리를 수립하는 것.
• 균일 LDP를 이용하여, 확률반응-확산 및 2D 라우아이-니코르스키 방정정식과 같은 SPDE의 유계 영역에서의 탈출 시간 점근 해석을 수행하는 것.

제안 방법

• 원래 바나흐 공간 E를 그 이중쌍대 공간 E**로 매장하여, 바운드된 집합의 약-* 컴팩트성을 활용하고, 알라오글의 정리를 적용한다.
• 수정된 원래 SDE에 대해, E**의 약-* 컴팩트 부분집합에서 균일 라플라스 원리를 증명하며, 위너 과정의 변분 표현을 활용한다.
• 약수렴 접근법을 적응하여, 컴팩트 집합 전역에서의 균일성에 맞게 라플라스 원리와 LDP 간의 등가성을 이용한다.
• 수축 원리를 적용하여, E**에서의 수정된 방정식으로부터 얻은 균일 LDP를 원래 방정식의 E로 되돌려 적용한다.
• 경미한 해가 반구간 방정식을 만족하며, 반구간 연산자 S(t)를 포함하며, S(t)는 강한 연속성과 컴팩트성에 의해 E**로 연장된다.
• 순차적 약-* 수렴과 부분수열 추출을 통해 E**에서의 컴팩트성 추론을 활용하여, 반구간 작용의 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노름 위상에서의 상대적 컴팩트성 부족 문제를 고려하여, 바나흐 공간 값 SDE에 대해 유계 초기 조건 집합 전역에서 균일한 대 deviations 원리(LDP)를 수립할 수 있는가?
• RQ2 이중쌍대 공간에서의 약-* 위상은 어떻게 무한차원 설정에서 컴팩트성을 복원하고, 균일 LDP의 수립을 가능하게 하는가?
• RQ3 이중쌍대 공간 E**의 약-* 컴팩트 집합에서의 균일 라플라스 원리가 원래 바나흐 공간 E의 유계 집합에서의 균일 LDP를 유도하는가?
• RQ4 이 틀은 소음이 작은 SPDE, 예를 들어 확률반응-확산 및 2D 라우아이-니코르스키 방정식의 탈출 시간 점근 해석에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 이중쌍대 공간 E**에서의 약-* 컴팩트 집합에서의 균일 라플라스 원리는 수축 원리를 통해 원래 바나흐 공간 E의 유계 집합에서의 균일 LDP를 유도한다.
• 증명 과정에서 수정된 SDE가 E**에서 약-* 컴팩트 집합에서 균일 라플라스 원리를 만족함을 입증하였으며, 이는 변분 표현과 컴팩트 반구간 연산자의 성질을 활용한다.
• 반구간 S(t)는 E**로 연속적으로 연장되며 수렴 성질을 유지한다: E**에서의 약-* 수렴하는 초기 조건 시퀀스 {x_n}에 대해, t1>0이면 S(t)x_n이 C([t1,T]:E) 및 Lp([0,T]:E)에서 수렴한다.
• E**의 임의의 유계 시퀀스 {x_n}에 대해, S(t)x_n이 어떤 x**∈E**에 대해 C([t1,T]:E) 및 Lp([0,T]:E)에서 S(t)x**로 수렴하는 부분수열이 존재한다.
• 균일 LDP는 확률반응-확산 방정식 및 2D 스토하스틱 라우아이-니코르스키 방정식을 포함한 SPDE의 유계 영역에서의 탈출 시간에 대한 소음이 작은 점근 해석에 응용된다.
• 이 틀은 바나흐 공간의 유계 집합에서의 위상적 장벽인 비컴팩트성 문제를 극복하여, 프리드린-웬첼 결과를 무한차원으로 일반화한다.