[논문 리뷰] Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves

Laura DeMarco, Holly Krieger외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 P1(Q)에서 아라켈로프-지아네 정렬 이론을 통한 새로운 정량적 등분포 접근법을 사용하여, 히퍼에르미틱이자 바이에르비틱인 종 2 곡선에 대해, 그 위의 토르션 점 수에 대한 균일한 상界를 확립한다. 주요 결과는 복소수체 위의 이러한 곡선에서 아벨-자코비 사상의 상에 속하는 공통 토르션 점 수에 대한 균일한 상계를 제시하며, 레지스터 곡선에서 최대 2-토르션 중복을 가진 경우 보고몰로프, 후, 츄인켈의 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We introduce a general strategy for proving quantitative and uniform bounds on the number of common points of height zero for a pair of in-equivalent height functions on ℙ1(ℚ̄). We apply this strategy to prove a conjecture of Bogomolov, Fu, and Tschinkel asserting uniform bounds on the number of common torsion points of elliptic curves in the case of two Legendre curves over ℂ. As a consequence, we obtain two uniform bounds for a two-dimensional family of genus 2 curves: a uniform Manin-Mumford bound for the family over ℂ, and a uniform Bogomolov bound for the family over ℚ̄.

연구 동기 및 목표

• 복소수체 위의 종 2 곡선에 대해 아벨-자코비 사상의 상에 속하는 토르션 점 수에 대한 균일한 상계를 확립하는 것.
• 보고몰로프, 후, 츄인켈이 제기한, 타원 곡선에서 표준 사영 사상의 상에 속하는 공통 토르션 점 수에 대한 균일한 상계에 관한 추측을 해결하는 것.
• P1(Q) 위의 두 다항 높이 함수의 공통 높이 0 점 수를 유한한 가족의 곡선에 적용 가능한 일반 전략을 개발하는 것.
• 레지스터 가속도를 핵심 사례로 삼아, 복소수체 위의 두 차원 가속도 가족(만인-머프라드)과 유리수체 위의 두 차원 가속도 가족(보고몰로프)에 대해 균일한 상계를 증명하는 것.

제안 방법

• P1(Q) 위의 아델릭으로 메트라이징된 선다발 간의 아라켈로프-지아네 교차쌍대성을 사용하여 높이 함수 간의 거리를 정량화한다.
• 문제를 Q\{0,1} 위의 타원 곡선 Et: y² = x(x−1)(x−t)의 레지스터 가속도로 환원하며, 네론-테이트 캐논리컬 높이에 의해 유도된 높이 함수 ˆht를 사용한다.
• Q\{0,1} 내의 t₁ ≠ t₂에 대해 ˆht₁ · ˆht₂의 균일한 하한 δ > 0 를 증명하여, 높이 함수가 너무 가까이 있지 않음을 보장한다.
• 지역 높이 함수와 v-아디크 베르키비치 공간 위의 평형 측도를 사용하여, 큰 높이 h(t₁,t₂)에 대해 점 渐진 하한 ˆht₁ · ˆht₂ ≥ αh(t₁,t₂) − β 를 확립한다.
• 파브레-리베라-레텔리어 및 페이리의 정교한 정량적 등분포 이론을 활용하여, 공통 영점 수 N(t₁,t₂) (즉, 공통 토르션 점 수)에 대한 쌍대성의 상한을 유도한다.
• 복소 동역학계의 분해 이론과 하이브리드 공간을 적용하여, 매개수 t가 특이점 {0,1,∞}에 접근할 때의 아르히메데스 기여를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수체 위의 히퍼에르미틱이자 바이에르비틱인 종 2 곡선에 대해, 아벨-자코비 사상의 상에 속하는 토르션 점 수에 대해 균일한 상계를 확립할 수 있는가?
• RQ2 보기몰로프, 후, 츄인켈의 추측이 최대 2-토르션 중복을 가진 경우 (|π₁(E₁[2]) ∩ π₂(E₂[2])| = 3)에 대해 성립하는가?
• RQ3 정의 체나 소수 선택에 관계없이, P1(Q) 위의 두 서로 다른 다항 높이 함수의 공통 높이 0 점 수를 유한하게 제한할 수 있는 일반 전략을 개발할 수 있는가?
• RQ4 아라켈로프-지아네 쌍대성에 의한 높이 함수 쌍의 관계와 타원 곡선에서 표준 사영 사상의 상에 속하는 공통 토르션 점 수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 복소수체 위의 매끄럽고 바이에르비틱인 종 2 곡선 X와 X 위의 웨이어슈트라스 점 P에 대해, |jP(X) ∩ J(X)tors| ≤ B 를 만족하는 균일한 상계 B 가 존재하며, 이 상계는 효과적이지만 명시적으로 계산되지 않았다.
• 레지스터 가속도 Et: y² = x(x−1)(x−t) 에 대해, 모든 t₁ ≠ t₂ ∈ C\{0,1} 에 대해 |π(Etors_t₁) ∩ π(Etors_t₂)| 에 대한 균일한 상계가 성립하며, 최대 중복 사례에서 논문의 추측 1.3을 해결한다.
• 모든 t₁ ≠ t₂ ∈ Q\{0,1} 에 대해 아라켈로프-지아네 쌍대성 ˆht₁ · ˆht₂ 는 균일한 하한 δ > 0 을 가지며, 이는 높이 함수가 상호 등가에서 멀리 떨어져 있음을 보장한다.
• 큰 높이 h(t₁,t₂) 에 대해 점 渐진 하한 ˆht₁ · ˆht₂ ≥ αh(t₁,t₂) − β 가 확립되며, 이는 쌍대성과 매개수의 산술적 복잡성 간의 연결 고리를 제공한다.
• 공통 영점 수 N(t₁,t₂) 에 대한 쌍대성의 상한이 ˆht₁ · ˆht₂ ≤ (ε + C(ε)/N(t₁,t₂))(h(t₁,t₂) + 1) 형태로 도출되며, 이와 하한과의 조합으로 N(t₁,t₂) 에 대한 균일한 상한이 유도된다.
• 결과적으로, Q 위의 종 2 곡선 가속도에 대해 균일한 보고몰로프 상한과, C 위의 두 차원 가속도 가속도 L₂ ⊂ M₂ 에 대해 균일한 만인-머프라드 상한이 유도된다.