[논문 리뷰] Uniform regularity and vanishing viscosity limit for the compressible Navier-Stokes with general Navier-slip boundary conditions in 3-dimensional domains

Yong Wang, Xin Zhouping외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 08.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 뉴이에르-슬립 경계 조건을 갖는 3차원 압축성 라우아르-스트로크스 방정식에 대해 균일한 정규성과 점성계수를 제거한 극한을 확립한다. 점성계수에 관계없이 시간 간격이 점성계수에 의존하지 않는 균일한 강해 풀이가 존재함을 증명하고, $L^∞$ 공간과 고르게 유계인 고르지 않은 소볼레프 공간에서 존재함을 보이며, 오일러 방정식으로의 수렴 속도를 정량화하여 밀도의 경계층이 속도의 경계층보다 더 약하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the uniform regularity for the isentropic compressible Navier-Stokes system with general Navier-slip boundary conditions (1.6) and the inviscid limit to the compressible Euler system. It is shown that there exists a unique strong solution of the compressible Navier-Stokes equations with general Navier-slip boundary conditions in an interval of time which is uniform in the vanishing viscosity limit. The solution is uniformly bounded in a conormal Sobolev space and is uniform bounded in $W^{1,\infty}$. It is also shown that the boundary layer for the density is weaker than the one for the velocity field. In particular, it is proved that the velocity will be uniform bounded in $L^\infty(0,T;H^2)$ when the boundary is flat and the Navier-Stokes system is supplemented with the special boundary condition (1.21). Based on such uniform estimates, we prove the convergence of the viscous solutions to the inviscid ones in $L^\infty(0,T;L^2)$, $L^\infty(0,T;H^1)$ and $L^\infty([0,T] imesΩ)$ with a rate of convergence.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 뉴이에르-슬립 경계 조건을 갖는 3차원 영역에서의 압축성 라우아르-스트로크스 방정식에 대해 균일한 정규성을 확립하는 것.
• 점성계수 제거 극한을 분석하고 압축성 오일러 방정식으로의 수렴을 증명하는 것.
• 경계층의 구조를 정량화하여, 특히 밀도의 경계층이 속도의 경계층보다 더 약하다는 것을 보여주는 것.
• 점성계수 $\varepsilon$에 관계없이 균일한 고르지 않은 소볼레프 공간과 $L^∞$ 공간에서의 추정치를 도출하는 것.
• 수렴 속도를 $L^\infty(0,T;L^2)$, $L^\infty(0,T;H^1)$, 및 $L^\infty([0,T]\times\Omega)$에서 확립하는 것.

제안 방법

• 일반적인 뉴이에르-슬립 경계 조건을 갖는 압축성 라우아르-스트로크스 시스템에 대해 사전 고르지 않은 에너지 추정치를 유도하는 것.
• 정규 도함수 추정치와 $L^\infty$-추정치를 적용하여 $\varepsilon$에 대해 균일하게 고차 도함수를 제어하는 것.
• 경계 조건 (1.7)의 코어티시티 표현을 사용하여 에너지 추정치를 단순화하는 것.
• 수정된 평탄한 정규화와 두하멜의 원리를 경계층 분석에 활용하는 것.
• 변수 계수를 갖는 열 방정식에 대한 가중치 $L^\infty$ 추정치를 사용하여 경계층 구조를 제어하는 것.
• 고르지 않은 소볼레프 공간 $H^2$ 및 $W^{1,\infty}$에서 $\varepsilon$에 대해 균일한 사전 추정치를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 뉴이에르-슬립 경계 조건을 갖는 3차원 압축성 라우아르-스트로크스 방정식에 대해 점성계수에 관계없이 균일한 정규성 추정치를 확립할 수 있는가?
• RQ2 점성계수를 제거한 극한에서 밀도와 속도의 경계층은 어떤 구조를 갖는가?
• RQ3 압축성 라우아르-스트로크스 방정식의 해가 동일한 경계 조건을 갖는 오일러 방정식의 해로 수렴하는가?
• RQ4 일반적인 뉴이에르-슬립 조건 하에서 점성계수 제거 극한에서의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 경계 조건의 선택이 점성계수 제거 극한에서 해의 정규성과 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일반적인 뉴이에르-슬립 경계 조건을 갖는 압축성 라우아르-스트로크스 방정식에 대해, 점성계수 $\varepsilon$에 관계없이 시간 간격이 $\varepsilon$에 의존하지 않는 $L^\infty(0,T;H^2)$ 및 $W^{1,\infty}$에서 유일한 강해 풀이가 존재한다.
• 해는 고르지 않은 소볼레프 공간에서 유계이며, 이는 점성계수에 관계없이 정규성이 보장됨을 의미한다.
• 밀도의 경계층은 속도장의 경계층보다 더 약하다는 것을 보여주며, 경계 근처에서의 밀도의 비정상성 정도가 낮음을 시사한다.
• 점성 해가 $L^\infty(0,T;L^2)$, $L^\infty(0,T;H^1)$, 및 $L^\infty([0,T]\times\Omega)$에서 오일러 해로 수렴함을 증명하였으며, 이 수렴 속도는 정량화되어 있다.
• 평평한 경계와 특수 경계 조건 (1.21)을 갖는 경우, 속도는 $L^\infty(0,T;H^2)$에서 균일하게 유계이다.
• 수렴 속도는 에너지 추정치와 해 및 그 도함수에 대한 가중치 $L^\infty$ 유계성에 의해 확립된다.