[논문 리뷰] Uniform subspace correction preconditioners for discontinuous Galerkin methods with $hp$-refinement

Will Pazner, Tzanio Kolev|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 02.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 63인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 고차수 불연속 갈레르킨(DG) 방법에 대한 hp-재분할을 고려한 새로운 부분공간 보정 조건자(preconditioner)를 제안한다. 이 방법은 호환 부분공간에 대해 행렬 자유(low-order refined) 조건자를 적용하고, 모서리 기반 비호환 부분공간을 통합하여 구성된다. 조건수(condition number)가 메esh 크기 $h$, 다항식 차수 $p$, 그리고 페널티 매개변수 $η$에 영향을 받지 않음을 보장하여, 극도로 불규칙하고 고도로 재분할된 메쉬에서도 악조건의 DG 시스템을 안정적으로 반복적으로 해석할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we develop subspace correction preconditioners for discontinuous Galerkin (DG) discretizations of elliptic problems with $hp$-refinement. These preconditioners are based on the decomposition of the DG finite element space into a conforming subspace, and a set of small nonconforming edge spaces. The conforming subspace is preconditioned using a matrix-free low-order refined technique, which in this work we extend to the $hp$-refinement context using a variational restriction approach. The condition number of the resulting linear system is independent of the granularity of the mesh $h$, and the degree of polynomial approximation $p$. The method is amenable to use with meshes of any degree of irregularity and arbitrary distribution of polynomial degrees. Numerical examples are shown on several test cases involving adaptively and randomly refined meshes, using both the symmetric interior penalty method and the second method of Bassi and Rebay (BR2).

연구 동기 및 목표

• hp-재분할 불연속 갈레르킨 이산화에서 발생하는 악조건의 선형 시스템을 해결하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 극도로 불규칙한 메쉬와 임의의 다항식 차수 분포에 효과적인 조건자를 개발하기.
• 메쉬 크기 $h$, 다항식 차수 $p$, 페널티 매개변수 $\eta$에 대해 조건수의 강건성(robustness)을 확보하기.
• 변분 제약 연산자를 이용해 행렬 자유 저차수 재분할 조건자 기법을 hp-재분할 환경으로 확장하기.
• 적응형 및 무작위 재분할 메쉬에서 최적 수렴 속도를 보장하는 추가 색소프(Additive Schwarz) 방법을 사용해 효율적인 반복 해법을 가능하게 하기.

제안 방법

• DG 유한요소 공간을 호환 부분공간과 비호환 모서리 부분공간으로 분해하기.
• 변분 제약 연산자를 사용해 고차수 문제를 저차수 문제로 이전시키고, 호환 부분공간에 대해 행렬 자유 저차수 재분할 조건자를 적용하기.
• 가우스-로바토 노드 점을 기반으로 정의된 블록 재귀 자료(smoothers)를 사용해 모서리 부분공간에서의 스무딩을 수행하며, 메쉬의 불규칙성과 다항식 분포에 맞게 조정하기.
• 총체적 조건자를 군집 부분공간 조건자와 모서리 부분공간 스무딩기의 합으로 구성하여 부분공간 보정 방법을 형성하기.
• 추가 색소프 프레임워크 내에서 방법을 분석하고, $h$, $p$, $η$에 대해 조건수의 경계를 이론적으로 증명하기.
• 메쉬와 다항식 차수의 불규칙성에 기반해 부분공간 분해를 생성하는 실용적인 알고리즘을 구현하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 hp-재분할을 고려한 DG 방법에 대해, $h$, $p$, $η$에 대해 독립적인 균일 수렴을 유지하는 부분공간 보정 조건자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 변동 다항식 차수와 매달린 노드(hanging nodes)를 포함한 hp-재분할 환경에서, 행렬 자유 저차수 재분할 조건자 기법을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 메쉬의 불규칙성과 변동 다항식 차수 분포가 조건자 기반 시스템의 성능과 조건수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 표준 체계적 다중격자(Algebraic Multigrid, BoomerAMG)와 단순화된 대각 조건자와 비교했을 때, 제안된 조건자는 반복 횟수와 강건성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 다른 DG 형식, 예를 들어 다른 안정화 항을 사용하는 BR2 형식에 대해서도 이 조건자는 균일 수렴을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 이론적으로 증명하고 수치적으로 검증한 결과, 조건자 기반 시스템의 조건수가 메쉬 크기 $h$, 다항식 차수 $p$, 페널티 매개변수 $η$에 영향을 받지 않음을 확인하였다.
• 균일한 재분할 조건에서도 반복 횟수가 거의 일정하게 유지되며, 메쉬 크기가 증가하더라도 수렴 성능이 안정됨을 확인하였다.
• 무작위 재분할 메쉬에서는 메쉬의 불규칙성이 증가함에 따라 반복 횟수가 약간 증가하지만, 메쉬가 1-불규칙성(1-irregularity) 범위에 제한될 경우 여전히 유한하게 유지된다.
• 모서리 부분공간 $V_e$의 차원은 메쉬의 불규칙성 증가에 따라 증가하지만, 병렬 처리에 대해 유지 가능하고 확장 가능한 수준을 유지한다.
• BoomerAMG와 단순화된 대각 조건자보다 성능이 뛰어나며, 특히 페널티 매개변수 $η$가 클 경우 성능 저하가 심한 두 방법에 비해 뛰어난 성능을 보였다.
• 수치 결과는 대칭 내부 페널티(SIPDG) 및 BR2 형식 모두에서 강건성을 입증하였으며, 모든 시험 파rameter 범위에서 균일한 수렴 성능을 보였다.