[논문 리뷰] Unique determination of coefficients and kernel in nonlocal porous medium equations with absorption term

Yi‐Hsuan Lin, Philipp Zimmermann|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 25.

Numerical methods in inverse problems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 흡수항 $\rho\partial_t u + L_K(u^m) + qu = 0$ ($m>1$)을 가진 비국소 다공성 매체 방정식에서 계수 $\rho$, $q$, 및 커널 $K$의 유일한 결정을 국소 경계 측정값인 부분 Dirichlet-to-Neumann 지도로부터 확립한다. 존재성에 대해 갈레르킨 방법을 적용하고, 비교 원리 및 유일한 연속성 성질 하에서 渐近 분석을 통해, 등방성 및 정규성 조건 하에서 $\rho$, $K$, $q$가 유일하게 특정됨을 증명한다. 이는 분수형 도전도 연산자에 대해서도 성립한다.

ABSTRACT

The main purpose of this article is the study of an inverse problem for nonlocal porous medium equations (NPMEs) with a linear absorption term. More concretely, we show that under certain assumptions on the time-independent coefficients $ρ,q$ and the time-independent kernel $K$ of the nonlocal operator $L_K$, the (partial) Dirichlet-to-Neumann map uniquely determines the three quantities $(ρ,K,q)$ in the nonlocal porous medium equation $ρ\partial_tu+L_K(u^m)+qu=0$, where $m>1$. In the first part of this work we adapt the Galerkin method to prove existence and uniqueness of nonnegative, bounded solutions to the homogenoeus NPME with regular initial and exterior conditions. Additionally, a comparison principle for solutions of the NPME is proved, whenever they can be approximated by sufficiently regular functions like the one constructed for the homogeneous NPME. These results are then used in the second part to prove the unique determination of the coefficients $(ρ,K,q)$ in the inverse problem. Finally, we show that the assumptions on the nonlocal operator $L_K$ in our main theorem are satisfied by the fractional conductivity operator $\mathcal{L}_γ$, whose kernel is $γ^{1/2}(x)γ^{1/2}(y)/|x-y|^{n+2s}$ up to a normalization constant.

연구 동기 및 목표

• 비선형 비국소 PDE에 포함된 미지 계수와 비국소 커널을 식별하는 역문제를 다루는 것.
• 흡수항이 있는 비국소 다공성 매체 방정식에서 계수 $\rho$, $K$, $q$의 유일성을 부분 경계 측정값으로부터 확립하는 것.
• 선형 비국소 연산자에서의 역문제 기법을 비선형 비국소 방정식과 흡수항이 있는 경우로 확장하는 것.
• 비국소 연산자에 대한 가정이 분수형 도전도 연산자 $\mathcal{L}_\gamma$에 의해 충족됨을 검증하는 것.

제안 방법

• 정규 초기 및 외부 데이터를 가진 동차 비국소 다공성 매체 방정식의 비음수 유계 해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 갈레르킨 방법을 적응 적용한다.
• 충분히 정규적인 함수로 근사할 때 해에 대한 비교 원리를 확립한다.
• 해의 초기 시간 근처에서의 점근적 행동을 분석하기 위해 시간 적분 변환을 도입한다.
• 점근적 분석을 적용하여 Dirichlet-to-Neumann 지도로부터 계수에 대한 정보를 추출한다.
• 유일한 연속성 원리와 룬게 근사 성질을 활용하여 DN 지도와 미지 계수를 연결한다.
• 분수형 도전도 연산자 $\mathcal{L}_\gamma$가 $K(x,y) = C_{n,s} \gamma^{1/2}(x)\gamma^{1/2}(y)$ 형태의 커널을 가지며, $K$에 대한 요구 조건을 충족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흡수항이 있는 비국소 다공성 매체 방정식에서 계수 $\rho$, $q$, 및 커널 $K$가 부분 Dirichlet-to-Neumann 지도로부터 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 충분히 정규적인 함수로 근사된 해에 대해 비국소 다공성 매체 방정식의 비교 원리가 성립하는가?
• RQ3 이 역문제 맥락에서 비국소 연산자 $L_K$에 대해 유일한 연속성 원리가 적용 가능한가?
• RQ4 $K$에 대한 가정이 분수형 도전도 연산자 $\mathcal{L}_\gamma$에 대해 성립하는가?
• RQ5 주어진 정규성 및 등방성 조건 하에서 DN 지도가 $\rho$, $K$, $q$를 유일하게 특정할 수 있는가?

주요 결과

• 부분 Dirichlet-to-Neumann 지도는 흡수항이 있는 비국소 다공성 매체 방정식에서 시간에 독립적인 계수 $\rho$, $q$, 및 비국소 연산자 $L_K$의 커널 $K$를 유일하게 결정한다.
• 정규 초기 및 외부 데이터 하에서 갈레르킨 방법을 통해 동차 비국소 다공성 매체 방정식의 비음수 유계 해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 충분히 정규적인 함수로 근사 가능한 해에 대해 비교 원리가 증명되어 하위해와 초위해의 비교가 가능해진다.
• 변환된 해의 점근적 분석을 통해 시간이 0에 수렴함에 따라 DN 지도가 $\rho$, $K$, $q$에 대한 정보를 포함하고 있음이 드러난다.
• 비국소 연산자 $L_K$에 대한 가정은 분수형 도전도 연산자 $\mathcal{L}_\gamma$에 의해 충족되며, 그 커널은 $K(x,y) = C_{n,s} \gamma^{1/2}(x)\gamma^{1/2}(y)$이다. 이는 $\gamma$가 등방성인 경우에 해당한다.
• 유일한 연속성 원리는 전체 계수 구조를 결정하는 데 핵심적인 도구로 사용되며, 특히 추가적인 대칭성 가정이 없을 경우에도 유용하다.