[논문 리뷰] Uniqueness and stability for the recovery of a time-dependent source and initial conditions in elastodynamics

Guanghui Hu, Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 23.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 1인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 경계 딜리클레 데이터를 사용하여 탄성동역학에서 시간에 따라 변하는 소스와 초기 조건을 복원하는 유일성과 안정성을 확립한다. 시간과 공간에서 컴팩트한 지지 집합을 가지는 분리 가능한 소스에 대해, 외부 영역에서는 공간 성분이 유일하게 결정된다. 전체 공간에서는 시간과 두 개의 공간 변수에 따라 변화하는 소스의 안정적 복원을 위해 부분 경계 자료만으로도 충분하다.

ABSTRACT

This paper is concerned with inverse source problems for the time-dependent Lame system and the recovery of initial data in an unbounded domain corresponding to the exterior of a bounded cavity or the full space. If the time and spatial variables of the source term can be separated with compact support, we prove that the vector valued spatial source term can be uniquely determined by boundary Dirichlet data in the exterior of a given cavity. If the cavity is absent, uniqueness and stability for recovering source terms depending on the time variable and two spatial variables in the whole space are also obtained using partial Dirichlet boundary data.

연구 동기 및 목표

• 탄성동역학 시스템에서 시간에 따라 변하는 소스를 복원하는 역문제를 다루는 것.
• 비유한 영역에서 초기 조건을 식별하기 위한 유일성과 안정성을 확립하는 것.
• 시간과 공간 변수가 분리 가능한 경우 공간 소스 항을 복원하는 분석을 수행하는 것.
• 전체 공간의 경우 부분 딜리클레 경계 자료를 사용하여 결과를 확장하는 것.
• 비유한 탄성 매질에서의 역소스 문제에 대한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 탄성파 전파의 정방 모델로 시간에 따라 변하는 라메 시스템을 사용한다.
• 시간과 공간에서 컴팩트한 지지 집합을 가지는 분리 가능한 소스 항을 가정한다.
• 공극의 외부 또는 전체 공간에서 경계의 일부에서 측정된 경계 딜리클레 자료를 적용한다.
• 유일성과 안정성을 도출하기 위해 적분 표현 공식과 에너지 추정을 활용한다.
• 역문제의 불안정성에 대처하기 위해 마이크로국소 분석과 카르레만 추정을 활용한다.
• 유한한 공극이 있는 외부 영역과 전체 공간을 기하학적 설정으로 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 소스의 공간 성분은 외부 영역에서 경계 딜리클레 자료를 통해 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 공극이 없는 상황에서 경계 측정을 통해 초기 조건은 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ3 전체 공간에서 부분 경계 자료를 사용할 때 소스 복원의 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 시간과 공간 변수의 분리성은 소스 항의 식별 가능성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 컴팩트 지지가 유일성과 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 소스가 시간과 공간에서 컴팩트한 지지 집합을 가지며 분리 가능한 경우, 공간 소스 항은 경계 딜리클레 자료에 의해 유일하게 결정된다.
• 유한한 공극의 외부에서 소스 복원에 대해 유일성과 안정성이 확립된다.
• 전체 공간에서는 부분 딜리클레 경계 자료를 사용하여 안정적 복원이 달성된다.
• 이 방법은 시간과 두 개의 공간 변수에 따라 변화하는 소스에 적용 가능하다.
• 최소한의 기하학적 가정(비유한 영역 포함) 하에서도 결과가 성립한다.
• 역문제의 불안정성을 제어하기 위해 에너지 추정과 카르레만 유형 부등식에 의존한다.