[논문 리뷰] Uniqueness for a class of stochastic Fokker-Planck and porous media equations

Michael Röckner, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분포의 의미에서, 열화되고 가측 가능한 두阶계 계수, 브라운 운동에 의한 다중성 소음, 그리고 점진적으로 가측 가능한 랜덤 필드의 넓은 클래스에서의 해를 고려할 때, 확률적 Fokker-Planck 방정식과 다공성 매체 방정식에 대해 유일성을 확립한다. 핵심 결과는 $H^{-1}$-기반 노름에서 에너지 추정과 마틴갈 표현을 이용한 두 방정식에 대한 경로별 유일성이다.

ABSTRACT

The purpose of the present note consists of first showing a uniqueness result for a stochastic Fokker-Planck equation under very general assumptions. In particular, the second order coefficients may be just measurable and degenerate. We also provide a proof for uniqueness of a stochastic porous media equation in a fairly large space.

연구 동기 및 목표

• 열화되고 가측 가능한 두阶계 계수를 가진 확률적 Fokker-Planck 방정식의 유일성을 확립하기 위해.
• 표준 $L^2$-기반 프레임워크를 초월하여 무한 체적에서의 확률적 다공성 매체 방정식에 대해 유일성 결과를 확장하기 위해.
• 기대값에서의 적분 가능성을 요구하지 않고, 점진적으로 가측 가능한 랜덤 필드의 넓은 공간에서의 해에 대해 분포의 의미에서의 유일성을 증명하기 위해.
• Fokker-Planck 방정식의 유일성 결과를 활용하여, 확률적 다공성 매체 방정식에 대한 확률적 표현 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존의 유일성 결과를 일반화하기 위해 계수와 해 공간의 정규성 조건을 완화하기 위해.

제안 방법

• 스웨츠 분포의 의미에서 $\mathbb{R}$ 위에서 확률적 Fokker-Planck 방정식 (1.1)과 다공성 매체 방정식 (1.2)를 수립한다.
• Itô 유형의 확률적 곱셈을 사용하고, 소음은 독립적인 브라운 운동 $W^i_t$ 와 결정론적 속도 $e^0(\xi)t$ 에 의해 구동된다고 가정한다.
• 열화되고 가측 가능한 계수 $e^i$ 가 잘 정의되도록 $H^{-1}$-승수 이론을 사용하여 확률적 항을 다룬다.
• 해의 근사와 $H^{-1}$-노름에서의 에너지 추정을 도출하기 위해 $\phi_\varepsilon$ 를 통한 모이피케이션 절차를 사용한다.
• 두 해의 차이의 $H^{-1}$-노름에 대한 마틴갈 표현을 유도하고, 제곱 노름에 대해 Itô 공식을 적용한다.
• 함수 $\psi$ 의 리프시츠 연속성과 얀 유형 부등식을 사용하여 비선형 항을 제어하고, 그로 인해 그론발 유형 부등식을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두阶계 계수가 오직 가측적이며 가능하면 열화된 경우에도 확률적 Fokker-Planck 방정식에 대해 유일성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 해의 기대값에서의 적분 가능성을 요구하지 않고, 무한 체적에서의 확률적 다공성 매체 방정식에 대해 경로별 유일성이 가능한가?
• RQ3 분포의 의미에서의 유일성을 유지하면서, $L^2$ 또는 $L^1 \cap L^\infty$ 를 초월하여 해의 클래스를 상당히 확대할 수 있는가?
• RQ4 $H^{-1}$-노름 에너지 추정과 마틴갈 표현을 사용하여 계수에 대한 정규성 조건을 최소화한 상태에서 유일성이 가능할 수 있는가?
• RQ5 Fokker-Planck 방정식에 대한 유일성 결과를 활용하여 관련된 다공성 매체 방정식에 대한 유일성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 두阶계 계수 $a$ 가 유계이고 점진적으로 가측적일 때, 확률적 Fokker-Planck 방정식 (1.1)에 대해 유일성이 성립한다. 또한 소음 계수 $e^i$ 는 $H^{-1}$-승수여야 한다.
• Fokker-Planck 방정식의 해 클래스는 다음 조건을 만족하는 모든 점진적으로 가측한 랜덤 필드 $z$ 를 포함한다: $\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} z^2(s,\xi) \, ds \, d\xi < \infty$ 거의 확실히.
• 다공성 매체 방정식 (1.2)의 경우, $\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} X^2(s,\xi) \, ds \, d\xi < \infty$ 거의 확실히 만족하는 점진적으로 가측한 랜덤 필드 $X$ 의 클래스에서 유일성이 증명된다. 이는 기대값에서의 적분 가능성을 요구하지 않는다.
• 증명은 두 해의 차이의 $H^{-1}$-노름에서의 에너지 추정에 기반하며, 마틴갈 항 $M_t$ 를 통해 그론발 유형 부등식으로 이어진다.
• 핵심 추정은 거의 확실히 $\|X(t,\cdot)\|_{H^{-1}}^2 \leq M_t + C \int_0^t \|X(s,\cdot)\|_{H^{-1}}^2 \, ds$ 이며, 여기서 $C$ 는 $e^i$ 와 $e^0$ 의 승수 노름에 의존한다.
• 결과는 열화성에 대해 강건하다: $a$ 가 열화되거나 $e^i$ 가 오직 가측적이라도, $H^{-1}$-승수이면 여전히 유일성이 성립한다.