[논문 리뷰] Uniqueness of a smooth convex body with a uniform cone volume measure in the neighborhood of a ball

Andrea Colesanti, Galyna V. Livshyts|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 29.

Point processes and geometric inequalities인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $C^2$ 노멀리티가 유클리드 구에 대해 충분히 작은 근처의 매끄러운 볼록체 중에서 유일한 원뿔 부피 측도가 균일한 체는 유클리드 구 그 자체임을 증명한다. 미분기하학적 및 측도이론적 기법을 사용하여 매끄럽고 구에 가까운 조건 하에서 유일성의 성립을 입증함으로써, 루트바크의 원뿔 부피 측도 유일성에 관한 추측의 국소적 형태를 해결한다.

ABSTRACT

The cone volume measure of a convex body $K$ is the measure $c_K$ on the sphere given by $$c_K(\Omega)=\frac{1}{n}\int_{\sfe} h_K(u) ds_K(u),$$ where $s_K$ is the surface area measure of $K$ and $h_K$ is the support function. Lutwak asked \cite{lutwak} if the cone volume measure determines a convex body uniquely; the answer is known to be affirmative in some partial cases. However, in general, it is not even known if a convex body with uniform cone volume measure has to be a Euclidean ball. We show that the only smooth convex body with uniform cone volume measure is indeed the Euclidean ball of the appropriate radius, under the initial assumption that the body is in a $C^2$ neighborhood of the ball. The size of the neighborhood depends only on the dimension.

연구 동기 및 목표

• 원뿔 부피 측도가 균일한 볼록체가 유클리드 구여야 하는지, 특히 구의 국소적 근처에서 이를 조사한다.
• 원뿔 부피 측도에 의해 결정되는 볼록체의 유일성에 관한 루트바크의 미해결 질문을 다룬다.
• 매끄럽고 $C^2$-근접성 조건이 만족될 경우, 그러한 체로 유클리드 구 외에는 존재하지 않음을 확립한다.
• 볼록기하학에서 원뿔 부피 측도 문제에 대한 국소적 유일성 결과를 제공한다.

제안 방법

• 지지함수 $h_K$와 단위구 위의 표면적측도 $s_K$를 사용하여 원뿔 부피 측도 $c_K$를 정의한다.
• $C^2$-위상 구조를 이용해 유클리드 구에 대해 충분히 가까운 매끄럽고 곡률이 유사한 볼록체의 범주를 제한한다.
• 소규모 구의 변형에 대해 원뿔 부피 측도의 행동을 분석하기 위해 변분법 및 PDE 기법을 적용한다.
• 지지함수와 표면적측도를 포함하는 적분공식을 활용하여 $c_K$의 균일성에 필요한 조건을 도출한다.
• 변형에 대한 원뿔 부피 측도의 대칭성과 강성 구조를 분석하여, 균일성이 구의 대칭성을 강제함을 보인다.
• 차원에 의존하는 추정치를 사용하여, 이러한 유일성이 성립하는 $C^2$ 노멀리티의 크기를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 볼록체가 균일한 원뿔 부피 측도를 가지면 반드시 유클리드 구여야 하는가?
• RQ2 유클리드 구의 $C^2$ 위상에서 국소적 근처에서 구의 유일성이 입증될 수 있는가?
• RQ3 원뿔 부피 측도가 체를 유일하게 결정하는 유클리드 구 주변의 $C^2$ 노멀리티의 크기는 얼마인가?
• RQ4 유클리드 구의 소규모 $C^2$ 변형에 대해 원뿔 부피 측도는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 원뿔 부피 측도가 균일할 경우, 어떤 기하학적 및 측도이론적 조건이 볼록체가 구임을 강제하는가?

주요 결과

• 매끄러운 볼록체가 균일한 원뿔 부피 측도를 가지려면, 그 체가 충분히 작은 $C^2$ 노멀리티 내에 있어야 하며, 이 경우에만 유클리드 구일 수 있다.
• 이 노멀리티의 크기는 주변 공간의 차원에만 의존한다.
• 이 결과는 원뿔 부피 측도 유일성에 관한 루트바크의 추측의 국소적 형태를 확인한다.
• 증명은 구의 소규모 $C^2$ 변형에 대해 원뿔 부피 측도의 강성에 기반한다.
• 원뿔 부피 측도의 균일성은 지지함수와 표면적측도가 유일하게 구가 만족하는 대칭적 적분항등식을 만족하도록 강제한다.
• 이 결과는 매끄럽고 $C^2$-근접성 조건 하에서 성립하지만, 추가 제약 조건 없이 전역적으로 확장되지는 않는다.