[논문 리뷰] Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional order mixed type equation

M. S. Salakhitdinov, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 07.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 직사각형 영역에서 Caputo 도함수를 포함하는 분수계 혼합형 미분방정식에 대한 역원천 문제의 해의 유일성을 확립한다. 공간에서 이중수직 급수로 해를 표현하고 시간에 대한 분수계 미분방정식으로 문제를 축소함으로써, 경계 조건과 전달 조건에서 유도된 행렬식이 0이 아닐 경우 비국소 조건 하에서 해의 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

In the present work, we investigate a uniqueness of solution of the inverse source problem with non-local conditions for mixed parabolic-hyperbolic type equation with Caputo fractional derivative. Solution of the problem we represent as bi-orthogonal series with respect to space variable and will get fractional order differential equations with respect to time-variable. Using boundary and gluing conditions, we deduce system of algebraic equations regarding unknown constants and imposing condition to the determinant of this system, we prove a uniqueness of considered problem. Moreover, we find some non-trivial solutions of the problem in case, when imposed conditions are not fulfilled.

연구 동기 및 목표

• 비국소 조건을 포함하는 분수계 혼합형 미분방정식에 대한 역원천 문제의 해의 유일성을 확립하기.
• 방정식이 t=0에서 유형이 변화하는 영역에서 해의 거동을 분석하여 포물형과 쌍곡형 역학을 통합하기.
• 유일성이 성립하는 조건을 도출하여 자명한 해 외에 다른 해가 존재하지 않도록 보장하기.
• 유일성 조건이 성립하지 않을 경우 비자명한 해를 특성화하고 이러한 해에 대한 명시적 표현을 제공하기.
• 비국소 전달 조건과 Caputo 도함수를 포함한 분수계 PDE의 역문제 기존 결과를 확장하기.

제안 방법

• Neumann 및 주기적 유사 경계 조건을 갖는 Sturm-Liouville 문제의 고유함수를 사용하여 공간에서의 해를 이중수직 급수 전개로 표현하기.
• 각 모드에 대해 급수 계수에 Caputo 분수계 도함수를 적용하여 원래 PDE를 시간에 대한 분수계 상미분방정식 시스템으로 변환하기.
• Mittag-Leffler 함수와 일반화된 분수적 적분 연산자를 사용하여 시간에 의존하는 계수의 명시적 해 유도하기.
• 경계 조건과 전달 조건(특히 t=0에서 Caputo 도함수의 연속성)을 적용하여 미지 상수에 대한 대수방정식 시스템 구성하기.
• 대수방정식 시스템의 계수 행렬의 행렬식을 분석하여 행렬식이 0이 아닐 경우 해의 유일성을 확보하기.
• 행렬식이 0이 되는 경우, 임의의 상수와 특수함수 항등식을 사용하여 비자명한 해를 명시적으로 구성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계 혼합형 미분방정식에 대한 역원천 문제의 해가 유일해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 t=0에서의 비국소 전달 조건은 역문제의 해법 가능성과 유일성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 유일성 조건이 실패할 경우 비자명한 해는 어떤 형태를 띄는가?
• RQ4 순서 α ∈ (0,1]과 β ∈ (1,2]인 Caputo 분수계 도함수는 해의 구조에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 공간과 시간의 동역학을 분리하는 이중수직 급수 프레임워크로 해를 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 경계 조건과 전달 조건에서 유도된 시스템의 행렬식이 0이 아닐 경우, 역원천 문제의 해는 유일하다.
• 행렬식이 0이 되는 경우, 비자명한 해가 존재하며, 이는 공간에 대해 일정한 형태인 $ u(x,t) = u_0(t), f(x) = f_0 $의 해를 포함한다. 이때 $ u_0(t) $는 Mittag-Leffler 함수를 이용해 명시적으로 표현된다.
• 모드 $ k = m \neq 0 $에 대해 $ \Delta_m = 0 $일 경우 비자명한 해가 존재하며, Mittag-Leffler 함수와 일반화된 초함수 유형의 연산자를 사용하여 명시적으로 구성된다.
• 해 성분 $ V_{1k}(t), V_{2k}(t), W_{1k}(t), W_{2k}(t) $ 는 Mittag-Leffler 함수와 그 분수적 적분 연속체 형태로 표현되어 해석적 접근성이 보장된다.
• 유일성 조건은 계수 $ f_{1k}, f_{2k}, f_0 $ 에 대한 대수방정식 시스템에서 유도된 행렬식이 0이 아닐 때와 동치이다.
• 논문은 스펙트럼 매개변수와 영역 매개변수 $ p, q $ 에 따라 자명한 해와 비자명한 해를 완전히 특성화하고 있다.