[논문 리뷰] Uniqueness of DRS as the 2 Operator Resolvent-Splitting and Impossibility of 3 Operator Resolvent-Splitting

Ernest K. Ryu|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 53인용 수 48

한 줄 요약

본 논문은 Douglas–Rachford splitting이 lifting 없이도 2-연산자 resolvent-splitting 중 유일한 절약적이고 무조건 수렴하는 해임을 보이고, 3 연산자에 대해서는 lifting 없이 그러한 분할이 존재하지 않음을 입증하며, DRS를 일반화하는 최소한의 lifting을 갖는 3-연산자 분할을 도입한다.

ABSTRACT

Given the success of Douglas--Rachford splitting (DRS), it is natural to ask whether DRS can be generalized. Are there other 2 operator resolvent-splittings sharing the favorable properties of DRS? Can DRS be generalized to 3 operators? This work presents the answers: no and no. In a certain sense, DRS is the unique 2 operator resolvent-splitting, and generalizing DRS to 3 operators is impossible without lifting, where lifting roughly corresponds to enlarging the problem size. The impossibility result further raises a question. How much lifting is necessary to generalize DRS to 3 operators? This work presents the answer by providing a novel 3 operator resolvent-splitting with provably minimal lifting that directly generalizes DRS.

연구 동기 및 목표

• DRS를 다른 2-연산자 resolvent-splitting으로 일반화할 수 있는지 동기를 부여한다.
• lifting 없이 3-연산자 resolvent-splitting이 존재하는지 판단한다.
• 2-연산자 경우의 절약적이고 무조건 수렴하는 분할을 특성화한다.
• DRS를 3 연산자로 확장하는 수단으로서의 lifting을 평가하고 최소 lifting을 정량화한다.
• 분할을 분석하기 위한 고정점 인코딩 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 2-연산자 문제 클래스에 대한 고정점 인코딩을 정의하고 절약성 및 lifting을 형식화한다.
• 절약적이고 non-lifting인 분할을 특성화하고 DRS가 무조건 수렴하는 유일한 분할임을 보인다.
• 선형 시스템(가우시안 소거법) 접근을 사용하여 어떤 절약적이고 비 lifting인 분할의 형태를 제약한다.
• 타당한 고정점 인코딩을 위해 특정 선형 함의가 성립해야 함을 보이기 위해 Farkas 유형의 보조정리를 적용한다.
• 절약적이고 비-lifting인 분할의 일반 형태(정리 2.1)를 도출하고 수렴 조건(정리 2.2)을 식별한다.
• 3-연산자 설정에서 lifting을 도입하고 정량화하며 DRS를 직접 일반화하는 최소 lifting된 3-연산자 분할을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DRS가 lifting 없이 유일하게 절약적이고 무조건 수렴하는 2-연산자 resolvent-splitting인가?
• RQ2 lifting 없이 3 연산자에 대한 resolvent-splitting이 존재할 수 있는가?
• RQ3 존재한다면 절약적이고 비 lifting인 분할은 어떤 형태여야 하는가?
• RQ4 바람직한 특성을 잃지 않으면서 DRS를 3 연산자까지 확장하기 위해 필요한 최소한의 lifting은 무엇인가?

주요 결과

• DRS는 차원 d≥2에서 동등성에 따라 유일하게 절약적이고 무조건 수렴하는 2-연산자 resolvent-splitting이다.
• 식별된 클래스에서 2-연산자 경우의 무조건 수렴은 α=β이고 θ가 (0,2)에 있어야 한다.
• 3-연산자 문제에 대한 고정점 인코딩, 비 lifting resolvent-splitting은 존재하지 않는다.
• 증명 가능한 최소 lifting을 가진 새로운 3-연산자 resolvent-splitting이 제공되며, 이는 DRS를 직접 일반화한다.