[논문 리뷰] UNIQUENESS OF QUASI-EINSTEIN METRICS ON 3-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS RIEMANNIAN MANIFOLD

Ernani Ribeiro|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 동차 리만다이내닉스의 등장군 차원에 따라 m- quasi-Einstein 계량을 분류한다. Sol³(등장군 차원 = 3)에서는 이러한 계량의 존재하지 않음을 증명하고, Berger 구면에서는 비기울기, 비자명한 계량이 존재함을 보이며, m-quasi-Einstein 계량을 가진 비콤팩트 동차 3차원 다각형은 공간 형태이거나 특정한 E³(κ, τ) 클래스와 등장하는 것으로 나타나, 기존의 기울기 경우에 한정된 분류 결과를 비기울기 경우로 확장한다.

ABSTRACT

One of the motivation to study m-quasi-Einstein metrics on a Riemannian manifold (Mn, g) is its closed relation with warped product Einstein metrics, see e.g. [3]. For instance, when m is a positive integer, m-quasi-Einstein metrics correspond to exactly those n-dimensional manifolds which are the base of an (n + m)-dimensional Einstein warped product. It is important to detach that gradient 1-quasi-Einstein metrics satisfying ∆e−f + λe−f = 0 are more commonly called static metrics with cosmological constant λ. These static metrics have been studied extensively because their connection with scalar curvature, the positive mass theorem and general relativity, for more details see e.g. [1] and [4]. The study of 3-dimensional homogeneous Riemannian manifolds is done, in general, according to the dimension of its isometry group Iso(M3, g), which can be 3, 4 or 6. Following this trend we present here a complete description of m-quasi-Einstein metrics, when this manifold compact or not compact provided dim Iso(M3, g) = 4. In addition, we shall show the absence of such structure on Sol3, which corresponds to dim Iso(M3, g) = 3. When dim Iso(M3, g) = 6 it is well known that M3 is a space form. In this case, its canonical structure gives a trivial example. In particular, we shall prove that Berger’s spheres carry naturally a non trivial structure of quasi-Einstein metrics. Since they have constant scalar curvature, their associated vector fields can not be gradient, this shows that Perelman’s Theorem can not be extend to quasi-Einstein metrics. Moreover, these examples show that Theorem 4.6 of [5] can not be extended for a non gradient vector field. Finally, we prove that if (M3, g, X, λ) is a non compact 3-dimensional homogeneous Riemannian manifold such that g is a m-quasi-Einstein metric, then, either M3 is a space form or M3 is E3(κ, τ) such as our Example obtained in this work. [e-mail] Departamento de Matematica-Universidade Federal do Ceara UFC, 60455-760-Fortaleza-CE-BR.

연구 동기 및 목표

• 등장군 차원에 따라 3차원 동차 리만다이내닉스에서 m-quasi-Einstein 계량을 분류하는 것.
• 등장군 차원이 4 또는 3일 때 이러한 계량의 존재성과 유일성을 조사하는 것.
• 일정한 스칼라 곡률을 가진 다양체, 특히 Berger 구면에서 비기울기 quasi-Einstein 구조가 존재할 수 있는지 판단하는 것.
• 기울기 경우를 초월하여 기존의 m-quasi-Einstein 계량 분류 결과를 공간 형태를 포함해 확장하는 것.
• m-quasi-Einstein 계량을 가진 비콤팩트 3차원 동차 다각형의 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 등장군 차원에 따라 3차원 동차 리만다이내닉스를 분류: 3, 4, 또는 6.
• m-quasi-Einstein 방정식의 사용: ∆_f g + Ric(g) = λg, 여기서 ∆_f는 f-Laplacian이며, f는 M 위의 미분 가능 함수이다.
• dim(Iso(M)) = 6인 경우 분석: 이 경우 M가 공간 형태임을 암시하며, 자명한 m-quasi-Einstein 해를 얻는다.
• Berger 구면에서 비기울기 m-quasi-Einstein 구조의 명시적 구성 및 분석: 이는 일정한 스칼라 곡률을 가진다.
• 기하학적 및 대칭성 제약 조건을 통한 Sol³에서 m-quasi-Einstein 계량의 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 비콤팩트 동차 3차원 다각형에서 m-quasi-Einstein 계량을 가진 경우의 위상수학적 및 곡률 기반 분류: 이 경우 공간 형태이거나 E³(κ, τ)와 등장하는 것으로 나타나야 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등장군 차원이 4인 3차원 동차 리만다이내닉스에서 m-quasi-Einstein 계량이 존재할 수 있는가?
• RQ2 일정한 스칼라 곡률을 가진 다양체, 예를 들어 Berger 구면에서 비기울기 m-quasi-Einstein 계량이 존재하는가?
• RQ3 Perelman의 기울기 quasi-Einstein 계량에 대한 정리가 비기울기 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ4 m-quasi-Einstein 계량을 가진 비콤팩트 3차원 동차 다각형의 구조는 어떠한가?
• RQ5 문헌 [5]의 정리 4.6 결과가 m-quasi-Einstein 계량의 비기울기 벡터장의 맥락에서 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• Sol³는 등장군 차원이 3이므로 m-quasi-Einstein 계량을 가질 수 없다.
• Berger 구면은 일정한 스칼라 곡률을 가지지만, 비자명하고 비기울기 m-quasi-Einstein 구조를 지닌다.
• Berger 구면에서 비기울기 m-quasi-Einstein 계량의 존재는 Perelman의 정리가 비기울기 경우로 확장될 수 없음을 시사한다.
• Berger 구면에서 비기울기 m-quasi-Einstein 계량의 예는 [5]의 정리 4.6이 비기울기 벡터장에 대해 성립하지 않음을 보여준다.
• m-quasi-Einstein 계량을 가진 비콤팩트 3차원 동차 리만다이내닉스에서는 다양체가 공간 형태이거나 E³(κ, τ)와 등장하는 것으로 나타나야 한다. 이는 본 연구에서 구성된 것이다.
• 등장군 차원에 관계없이 3차원 동차 다각형에서 m-quasi-Einstein 계량의 분류는 완전하며, 명시적인 구조적 특성화가 이루어져 있다.