[논문 리뷰] Uniqueness of Stable Processes with Drift

Zhen-Qing Chen, Longmin Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 편미분 벡터장이 Kato 클래스 조건을 만족할 때, 회전 대칭 $\alpha$-스테이블 Lévy 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식에 대한 약한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 주요 기여는 관련된 마틴갈 문제의 잘 정의됨을 증명하여, 공통으로 연속적인 전이 밀도를 가지며 날카로운 양측 추정을 갖는 유일한 강한 마르코프 과정의 존재를 보장한다는 것이다.

ABSTRACT

Suppose that $d\geq1$ and $α\in (1, 2)$. Let $Y$ be a rotationally symmetric $α$-stable process on $\R^d$ and $b$ a $\R^d$-valued measurable function on $\R^d$ belonging to a certain Kato class of $Y$. We show that $ d X^b_t= d Y_t+b(X^b_t) d t$ with $X^b_0=x$ has a unique weak solution for every $x\in \R^d$. Let $\sL^b=-(-Δ)^{α/2} + b \cdot abla$, which is the infinitesimal generator of $X^b$. Denote by $C^\infty_c(\R^d)$ the space of smooth functions on $\R^d$ with compact support. We further show that the martingale problem for $(\sL^b, C^\infty_c(\R^d))$ has a unique solution for each initial value $x\in \R^d$.

연구 동기 및 목표

• 회전 대칭 $\alpha$-스테이블 과정에 의해 구동되며, $\alpha \in (1,2)$인 확률미분방정식에 대한 약한 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 편미분 벡터장 $b$가 Kato 클래스 조건을 만족할 때, 생성자 ${\mathcal{L}}^{b} = -(-\Delta)^{\alpha/2} + b\cdot\nabla$에 대한 마틴갈 문제가 초기 값 $x \in {\mathbb{R}}^{d}$ 에서 잘 정의되어 있음을 보이는 것.
• 유계 $C^{1,1}$ 영역 내에서 유도된 과정과 그 죽은 버전의 전이 밀도에 대해 날카로운 양측 추정을 도출하는 것.

제안 방법

• 저자들은 적분 조건 $M_f^\alpha(r) = \sup_{x} \int_{B(x,r)} \frac{|f(y)|}{|x-y|^{d+1-\alpha}} dy$ 를 통해 ${\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ Kato 클래스를 정의하며, $\lim_{r\downarrow 0} M_f^\alpha(r) = 0$ 조건을 요구한다.
• 만약 $|b| \in {\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ 라면, 모든 초기 값 $x \in {\mathbb{R}}^d$ 에 대해 SDE $dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$ 는 유일한 약한 해를 가짐을 증명한다.
• 증명은 SDE의 모든 약한 해가 $({\mathcal{L}}^b, C_c^\infty({\mathbb{R}}^d))$ 에 대한 마틴갈 문제를 만족하고, 그 반대도 성립함을 보여 이끌어낸다.
• 이토의 공식과 Lévy 시스템 표현을 사용하여 해의 연속적 부분과 점프 부분을 식별하고, 연속적 부분이 국소 마틴갈임을 보이며, 점프 부분이 회전 대칭 $\alpha$-스테이블 과정과 대응됨을 보여준다.
• 특성 함수 분석을 통해 확률 측도 $\mathbb{P}_x$ 하에서 $Z_t = X^b_t - X^b_0 - \int_0^t b(X^b_s)ds$ 가 회전 대칭 $\alpha$-스테이블 과정임을 증명한다.
• 해의 유일성은 마르코프 성질과 Lévy 시스템의 구조를 통해 마틴갈 문제의 유일성에 의해 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $Y$ 가 회전 대칭 $\alpha$-스테이블 과정이고 $b$ 가 Kato 클래스 ${\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ 에 속할 때, SDE $dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$ 는 유일한 약한 해를 가지는가?
• RQ2 생성자 ${\mathcal{L}}^b = -(-\Delta)^{\alpha/2} + b\cdot\nabla$ 에 대한 마틴갈 문제가 각각의 초기 값 $x \in {\mathbb{R}}^d$ 에서 잘 정의되어 있는가?
• RQ3 $X^b$ 과정과 그 유계 $C^{1,1}$ 영역 내에서의 죽은 버전에 대해 전이 밀도 $p^b(t,x,y)$ 에 대해 날카로운 양측 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $|b| \in {\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ 이면, 모든 초기 값 $x \in {\mathbb{R}}^d$ 에 대해 SDE $dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$ 는 유일한 약한 해를 가지며, 이 해는 강한 마르코프 과정이다.
• 유일한 약한 해의 법칙은 $({\mathcal{L}}^b, C_c^\infty({\mathbb{R}}^d))$ 에 대한 마틴갈 문제의 유일한 해이므로, 마틴갈 문제의 잘 정의됨이 증명된다.
• 과정 $X^b$ 는 ${\mathbb{R}}^d$ 상에서 르베그 측도에 대해 공통으로 연속적인 전이 밀도 $p^b(t,x,y)$ 를 가진다.
• 모든 $T > 0$ 에 대해 상수 $c_1 > 1$ 이 존재하여, 모든 $(t,x,y) \in (0,T] \times {\mathbb{R}}^d \times {\mathbb{R}}^d$ 에 대해 $c_1^{-1} \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right) \leq p^b(t,x,y) \leq c_1 \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right)$ 를 만족하며, $c_1$ 은 $d$, $\alpha$, $T$, 및 $M^\alpha_{|b|}(r)$ 의 감쇠 속도에 따라 달라진다.
• 유계 $C^{1,1}$ 영역 $D$ 에서 $d \geq 2$ 이면, 죽은 전이 밀도 $p^b_D(t,x,y)$ 는 경계 항 $\delta_D(x)^{\alpha/2}$ 와 $\delta_D(y)^{\alpha/2}$ 를 포함한 날카로운 양측 추정을 만족한다.
• 특성 함수 분석을 통해 $\mathbb{P}_x$ 하에서 $Z_t = X^b_t - \int_0^t b(X^b_s)ds$ 가 회전 대칭 $\alpha$-스테이블 과정임을 확인하였으며, $\mathbb{E}_x[e^{i\xi \cdot Z_t}] = e^{-t|\xi|^\alpha}$ 를 도출하였다.