[논문 리뷰] Unitary designs from statistical mechanics in random quantum circuits

Nicholas Hunter-Jones|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 51인용 수 61

한 줄 요약

이 논문은 로컬 랜덤 큐비트 회로의 프레임 포텐셜을 격자 분해 함수로 매핑하고, 두 번째 모멘트에 대한 정확한 결과를 계산하며, 깊이 O(nk)에서 임의 회로가 근사적인 유니타리 k-디자인을 형성한다고 주장한다(정교화 및 추정 포함).

ABSTRACT

Random quantum circuits are proficient information scramblers and efficient generators of randomness, rapidly approximating moments of the unitary group. We study the convergence of local random quantum circuits to unitary $k$-designs. Employing a statistical mechanical mapping, we give an exact expression of the distance to forming an approximate design as a lattice partition function. In the statistical mechanics model, the approach to randomness has a simple interpretation in terms of domain walls extending through the circuit. We analytically compute the second moment, showing that random circuits acting on $n$ qudits form approximate 2-designs in $O(n)$ depth, as is known. Furthermore, we argue that random circuits form approximate unitary $k$-designs in $O(nk)$ depth and are thus essentially optimal in both $n$ and $k$. We can show this in the limit of large local dimension, but more generally rely on a conjecture about the dominance of certain domain wall configurations.

연구 동기 및 목표

• 로컬 랜덤 양자 회로가 모멘트 분석으로 어떻게 유니타리 k-디자인으로 수렴하는지 이해한다.
• 프레임 포텐셜의 분할 함수에 대한 정확한 격자 차원 매핑을 제공한다.
• n, k, 로컬 차원 q의 함수로 2-디자인 및 일반 k-디자인 형성의 깊이 스케일을 결정한다.

제안 방법

• 로컬 양자 회로의 k-번째 프레임 포텐셜을 트라이앵글/육각 격자 위의 S_k 스핀 시스템의 분할 함수로 매핑한다.
• 하르 통합(Haar integration) 및 Weingarten 계산을 사용하여 효과적인 정점 가중치와 도메인 wall 해석을 도출한다.
• 두 번째 프레임 포텐셜을 정확히 계산하고 영이 아닌 구성은 격자 모형의 도메인-wall로 해석한다.
• two-design 깊이가 t2 = C(2n log q + log n + log(1/ε))로 계산 가능한 상수 C에 의해 스케일링됨을 보인다.
• 일반 k에 대해 대형 로컬 차원 한계에서 디자인 깊이 t_k = O(nk)이며, 유한한 q에서 nk + k log k + log(1/ε) 를 상한 conjecture로 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 양자 회로가 근사적 2-디자인을 형성하는 데 필요한 깊이가 시스템 크기 n과 로컬 차원 q에 대해 어떻게 스케일하는가?
• RQ2 랜덤 양자 회로의 프레임 포텐셜을 격자 분할 함수로 표현할 수 있으며 이 매핑에서 도메인 벽은 무엇을 나타내는가?
• RQ3 n, k, q의 함수로 근사적 유니타리 k-디자인 형성에 필요한 깊이의 스케일은 어떻게 되는가?
• RQ4 상위 모멘트(k>2) 구성이 디자인 형성에 얼마나 영향을 미치며, 선도 도메인-wall 기여가 전체 동작을 어떻게 제약하는지 어떤 추론 가정이 있는가?
• RQ5 랜덤 양자 회로가 설계 깊이의 하한(선형적 in n과 k) 측면에서 본질적으로 최적의 구현인가?

주요 결과

• RQCs의 k-번째 프레임 포텐셜은 정확히 S_k 스핀의 분할 함수로, 시간 주기적 경계 조건을 갖는 육각/삼각 격자에서 표현될 수 있다.
• k = 2의 경우 영이 아닌 구성은 항등 및 교환 순열의 영역을 구분하는 도메인 벽에 대응하므로 두 번째 디자인 깊이를 정확히 계산할 수 있다.
• 두 번째 디자인 깊이는 t2 ≥ C(2n log q + log n + log(1/ε))로 스케일링되며, 상수 C = (log((q^2+1)/(2q)))^{-1}으로 계산 가능; 특히 q = 2일 때 t2 ≈ 6.2 n이고 q → ∞으로 갈수록 t2는 2n으로 수렴한다.
• 일반 k에 대해 선도 도메인-wall 구성 부문은 단순 도메인-wall 섹션에서 기여가 이루어지므로 대형 로컬 차원 한계에서 t_k = O(nk)로 스케일링한다.
• 유한 q에서 단순 섹션이 다도메인-wall 항을 지배한다는 추정하에, 임의 회로는 깊이 nk + k log k + log(1/ε)에서 ε-근사 k-디자인을 형성한다.
• 디자인 깊이에 대한 하한은 n과 k에 대해 선형이며, 이로써 임의 양자 회로가 유니타리 k-디자인의 본질적으로 최적의 구현임을 시사한다.