[논문 리뷰] Unitary equivalence classes of split-step quantum walks

Akihiro Narimatsu, Hiromichi Ohno외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 질량 및 지지 조건을 만족하는 일반화된 양자 보행의 클래스를 도입함으로써 분할 단계 양자 보행(Split-step quantum walks, SSQW)의 유니터리 동치 클래스를 수립한다. 스즈끼의 SSQW가 실수 매개변수를 가진 표준형과 유니터리 동치임을 증명하고, 분류 문제를 두 실수 함수 $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $ 로 단순화하며, 두 보행이 유니터리 동치일 조건이 정확히 이 함수들이 동일할 때임을 보인다.

ABSTRACT

This study investigates the unitary equivalence of split-step quantum walks (SSQW). We consider a new class of quantum walks which includes all SSQWs. We show the explicit form of quantum walks in this class, and clarify their unitary equivalence classes. Unitary equivalence classes of Suzuki's SSQW are also given.

연구 동기 및 목표

• 모든 알려진 분할 단계 양자 보행(SSQW)의 변종, 예를 들어 기타가와의 및 스즈끼의 공식화를 포함하는 일반화된 양자 보행의 클래스를 정의하기 위해.
• 이 일반화된 클래스의 유니터리 동치 클래스를 명확히 하여 복잡한 매개변수 공간을 표준 대표자로 단순화하기 위해.
• 두 SSQW가 유니터리 동치일 조건을 정확히 규명하고, 특히 스즈끼의 공식화에 초점을 맞추기 위해.
• 분할 단계 양자 보행에서 치랄 대칭성의 역할과 유니터리 동치의 구조와의 관계를 조사하기 위해.

제안 방법

• 매개변수 $ x \in \mathbb{Z} $ 에 대해 $ \mathcal{H}_x \subset \mathcal{H} = \ell^2(\mathbb{Z}) \oplus \ell^2(\mathbb{Z}) $ 에서 정의된 유니터리 연산자 $ U $ 를 정의하고, $ U\mathcal{H}_x \subset \mathcal{H}_{x-1} \oplus \mathcal{H}_x \oplus \mathcal{H}_{x+1} $ 와 $ \text{rank}(P_{x\pm1} U P_x) \leq 1 $ 을 만족시키며 국소적 전파 구조를 보장하기 위해.
• 이 양자 보행을 디랙 표기법으로 표현하여 $ U = \sum_x |\xi_1^x\rangle\langle\zeta_1^x| + |\xi_2^x\rangle\langle\zeta_2^x| $ 를 얻으며, 이때 벡터는 인접한 위치에 있고 정규직교 기저를 이룬다.
• 복소수 위상 $ e^{i\theta_x}, e^{i\kappa_x} $ 와 실수 진폭 $ p_x, r_x \in [0,1] $ 을 사용하여 표준형 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 을 도입하고, 진폭이 0일 경우의 위상 조건을 설정한다.
• 유니터리 변환을 통해 여유가 있는 위상 매개변수 $ \theta_x, \kappa_x $ 를 제거하고, 실수 매개변수 $ p_x, r_x \in \mathbb{R} $ 와 위상 $ \theta_x, \kappa_x \in [0,2\pi) $ 만이 본질적임을 보이며, 각 위치에서 하나의 위상은 제거 가능하다.
• 유니터리 동치에 관한 정리들을 적용하여, 두 보행이 동치일 조건이 정확히 그들의 $ p_x, r_x $ 함수가 동일할 때임을 증명한다.
• 스즈끼의 SSQW에 특화하여, $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $, $ q_x, b_x \in \mathbb{C} $ 를 고려하고, $ q_x, b_x $ 에서의 복소수 위상은 게이지 변환을 통해 제거 가능하며, 결과적으로 $ U_{p,a} $ 로 단순화됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 전파 및 질량 제약 조건을 만족하는 일반화된 분할 단계 양자 보행의 유니터리 동치 클래스의 완전한 집합은 무엇인가?
• RQ2 특히 코인과 시프트 연산자에서의 복소수 위상에 대해, 스즈끼의 SSQW의 매개변수 공간은 유니터리 동치 하에서 어떻게 단순화될 수 있는가?
• RQ3 두 분할 단계 양자 보행이 유니터리 동치일 조건은 무엇이며, 이 동치관계는 실수 함수로 완전히 특징지을 수 있는가?
• RQ4 표준형 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 는 모든 가능한 SSQW를 포괄하는가? 그리고 이 분류 내에서 치랄 대칭성이 식별될 수 있는가?
• RQ5 역으로, 표준형에서 치랄 대칭성을 가진 보행이 반드시 스즈끼 유형의 SSQW인가?

주요 결과

• 질량 및 지지 조건을 만족하는 일반화된 양자 보행의 클래스는 $ p_x, r_x \in [0,1] $ 과 $ \theta_x, \kappa_x \in [0,2\pi) $ 를 매개변수로 하는 표준형 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 으로 표현 가능하며, 각 위치에서 하나의 위상 매개변수를 제거할 수 있다.
• 스즈끼의 SSQW는 실수 매개변수 $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $ 를 가진 표준형 $ U_{p,a} $ 와 유니터리 동치이며, 이는 코인 및 시프트 연산자에서의 복소수 위상이 유니터리 변환으로 제거될 수 있음을 의미한다.
• 두 보행 $ U_{p,a} $ 와 $ U_{p',a'} $ 가 유니터리 동치일 조건은 모든 $ x \in \mathbb{Z} $ 에 대해 $ p_x = p'_x $ 와 $ a_x = a'_x $ 를 만족할 때이며, 이는 완전한 분류를 수립한다.
• 보행의 유니터리 동치 클래스는 실수 함수 $ p_x $ 와 $ a_x $ 에 의해 완전히 결정되며, 동치 클래스 내에서 잔여 위상 자유도는 존재하지 않는다.
• 보행 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 가 치랄 대칭성을 가진다는 것은 정확히 스즈끼 유형의 SSQW일 때이지만, 그 역은 아직 미해결 문제이다.
• 표준형 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ 는 최소한의 매개변수화를 제공한다: 각 위치당 네 개의 실수 매개변수를 포함하며, 게이지 고정 후 두 개의 실수 매개변수로 줄일 수 있다.