[논문 리뷰] Unitary evolution, canonical variables and vacuum choice for general quadratic Hamiltonians in spatially homogeneous and isotropic space-times

Sandro D. P. Vitenti|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 06.

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 균일하고 등방성 시공간 내 자유 스칼라 장에서 특정 캐논ical 변수 선택을 통해 유니타리 시간 진화가 가능해지는 조건을 규명한다. 시간에 의존하는 선형 캐논ical 변환을 분석하고 액션-앵글 변수의 점점 다가가는 행동을 사용하여, 유니타리 진화를 보장하는 유일한 캐논ical 변수 집합을 도출한다. 이는 고전적인 단조 조건을 일반화하고, 순순한 해밀토니안 대각화와 장 스메어링과 연결한다.

ABSTRACT

Quantization of arbitrary free scalar fields in spatially homogeneous and isotropic space-times is considered. The quantum representation allowing a unitary evolution for the fields is taken as a requirement for the theory. Studying the group of linear canonical transformations, we show the relations between unitary evolution and choice of canonical variables. From these relations we obtain the conditions on the Hamiltonian such that there are canonical variables for which the field has unitary evolution. We then compute the linear transformation leading to these variables, also proving that they are unique. We obtain these results by developing the asymptotic analysis of the fields using the action angle variables, which proves to be a generalization of the usual Wentzel-Kramers-Brillouin approximation. These tools allow us to re-frame the adiabatic vacuum condition in a extensible format by using the action angle variables to relate these vacuum choices to those where the particle number density does not depend on angle (fast) variables. Finally, we develop a larger set of canonical variables relating the adiabatic vacuum conditions with the smearing of the quantum fields. This set of canonical variables also connects the adiabatic vacuum conditions with the instantaneous Hamiltonian diagonalization vacuum choice.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 균일하고 등방성 시공간 내 일반적인 2차 해밀토니안에서 유니타리 시간 진화가 존재할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 그러한 해밀토니안에 대해 유니타리 진화를 실현하는 유일한 캐논ical 변수 집합을 결정하는 것.
• 액션-앵글 변수의 점점 다가가는 행동을 사용하여 고전적인 단조 조건을 일반화하고, 빠른 변수에 대한 입자 수 독립성을 연결하는 것.
• 캐논ical 변수 선택을 통해 고전적인 단조 조건, 순순한 해밀토니안 대각화 진화, 장 스메어링 성질을 연결하는 것.

제안 방법

• 유니타리 진화가 캐논ical 변수 선택과 어떻게 관련되는지 분석하기 위해 시간에 의존하는 선형 캐논ical 변환(LCT)을 분석한다.
• 시간에 의존하는 시스템에 대해 웬틀-크라머스-브릴루아인(WKB) 근사의 일반화로 작용하는 액션-앵글 변수를 사용한 점점 다가가는 분석을 적용한다.
• 부분적 적분을 통해 위상과 진폭 보정의 적분 근사식을 유도하고, 일阶 비진동 항을 유지한다.
• 주파수 ν와 배경 진동을 사용하여 편미분 전개에서 진동 항과 비진동 항을 분류한다.
• 해밀토니안 진동에서 비진동 항을 제거함으로써 유니타리 시간 진화를 보장하는 캐논ical 변수로의 변환을 구성한다.
• 결과로 얻어진 진화 선택을 액션-앵글 변수 행동을 통해 고전적인 단조 조건과 연결하고, 순순한 해밀토니안 대각화와의 연결 고리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 스칼라 장이 공간적으로 균일하고 등방성 시공간 내에서 유니타리 시간 진화가 존재하기 위한 해밀토니안 조건은 무엇인가?
• RQ2 그러한 시스템에 대해 유니타리 진화를 보장하는 유일한 캐논ical 변수 집합은 무엇인가?
• RQ3 액션-앵글 변수를 사용하여 고전적인 단조 조건을 어떻게 일반화할 수 있으며, 이는 빠른 변수에 대한 입자 수 독립성을 어떻게 설명하는가?
• RQ4 캐논ical 변수 선택을 통해 고전적인 단조 조건, 장 스메어링, 순순한 해밀토니안 대각화는 어떻게 연결되는가?
• RQ5 편미분 전개에서 비진동 항은 유니타리 진화를 위한 적절한 캐논ical 변수를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 자유 스칼라 장이 공간적으로 균일하고 등방성 배경에서 시간 진화가 유니타리로 실현될 수 있는 유일한 캐논ical 변수 집합이 존재한다.
• 유니타리 진화의 조건은 위상과 진폭 보정의 일阶 편미분 전개에서 비진동 항이 존재하지 않는 것과 동치이다.
• 액션-앵글 변수를 통해 고전적인 단조 조건이 일반화되며, 입자 수 밀도가 빠른(각도) 변수에 독립적임을 나타낸다.
• 점점 다가가는 방법을 통해 유도된 캐논ical 변수는 순순한 해밀토니안 대각화 진화와 일치하며, 진화 선택 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 이 캐논ical 변수로의 변환은 해밀토니안 진화가 유니타리임을 보장하며, ν⁻¹에 대해 순서별로 계산하는 체계적인 방법을 제공한다.
• δφ 보정에서 비진동 항(예: −∫( ̇ξ² / 2ν ) dt)이 일阶 정확도에 있어 결정적인 역할을 하며, 유니타리 진화를 달성하기 위해 유지되어야 한다.