[논문 리뷰] Unitary k-designs from random number-conserving quantum circuits

Sumner N. Hearth, Michael O. Flynn외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 01.

Mathematical Approximation and Integration인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수량을 보존하는 랜덤 양자 회로가 수량을 보존하는 유니터리 군 위에서 유니터리 k-디자인을 생성함을 확립하며, 수렴 깊이가 $d$ 차원에서 $ au \gtrsim kL^{d+2}$ 비례함을 보여준다. $k$중 복제된 통계역학 모델을 사용하여, 자발적 $U(1)$ 대칭의 깨짐으로부터 유도되는 무간극 금속 모드가 느린 수렴을 지배함을 밝히고, 유니터리 군 전체에서 $k_c = O(L^d)$ 까지의 유한한 모멘트가 하르 측도와 구별 불가능함을 증명한다.

ABSTRACT

Local random circuits scramble efficiently and accordingly have a range of applications in quantum information and quantum dynamics. With a global $U(1)$ charge however, the scrambling ability is reduced; for example, such random circuits do not generate the entire group of number-conserving unitaries. We establish two results using the statistical mechanics of $k$-fold replicated circuits. First, we show that finite moments cannot distinguish the ensemble that local random circuits generate from the Haar ensemble on the entire group of number-conserving unitaries. Specifically, the circuits form a $k_c$-design with $k_c = O(L^d)$ for a system in $d$ spatial dimensions with linear dimension $L$. Second, for $k < k_c$, we derive bounds on the depth $τ$ required for the circuit to converge to an approximate $k$-design. The depth is lower bounded by diffusion $k L^2 \ln(L) \lesssim τ$. In contrast, without number conservation $τ\sim ext{poly}(k) L$. The convergence of the circuit ensemble is controlled by the low-energy properties of a frustration-free quantum statistical model which spontaneously breaks $k$ $U(1)$ symmetries. We conjecture that the associated Goldstone modes set the spectral gap for arbitrary spatial and qudit dimensions, leading to an upper bound $τ\lesssim k L^{d+2}$.

연구 동기 및 목표

• 수량을 보존하는 랜덤 양자 회로가 수량을 보존하는 유니터리 군 위에서 $k$-디자인으로 수렴하는 데 필요한 깊이를 결정하는 것.
• U(1) 보존과 확산 전하 운반의 영향을 고려하여, 랜덤 회로가 근사 유니터리 디자인으로 수렴하는 속도에 대해 이해하는 것.
• 복제된 회로 모델에서 자발적 $k$중 $U(1)$ 대칭의 깨짐으로부터 유도되는 저에너지 진동자—특히 무간극 금속 모드—의 역할을 분석하는 것.
• 변분법 및 통계역학 기법을 사용하여 $k$-디자인에 대한 수렴 깊이 $\tau$ 의 엄밀한 하한을 유도하는 것.
• 유한한 모멘트가 수량을 보존하는 전체 유니터리 군에서 하르 측도와 $k_c = O(L^d)$ 까지 일치함을 확립하는 것

제안 방법

• 모든 $(k,k)$-차수 모멘트를 캡처하는 회로 유니터리의 $k$-번째 모멘트 연산자 $\hat{T}_k^{U_t}$ 를 계산하기 위해 $k$중 복제된 회로 모델을 구성한다.
• 시스템의 $k$개 복제본과 $k$개의 켤레 $*$-복제본을 포함하는, $k$개의 수량을 보존하는 $U(1)$ 대칭이 존재하는, 분할되지 않은 양자 통계모델로 문제를 매핑한다.
• 복제된 해밀토니안의 저에너지 스펙트럼을 규명하여, 자발적 $U(1)^k$ 대칭 깨짐으로 인해 무간극 금속 모드가 존재함을 보여준다.
• 회로 집합과 하르 측도 간의 겹침에 대한 변분적 하한을 사용하여 수렴 깊이 $\tau$ 의 하한을 도출한다.
• 금속 모드의 자극 상태를 합산하기 위해 분할 함수 접근법을 적용하여, 고도의 점유 및 고파장 모드가 지수적으로 억제됨을 보여준다.
• 수렴이 $\varepsilon$-근사 $k$-디자인으로 이루어지기 위한 점 渐진적 하한 $\tau \gtrsim kL^{d+2}$ 를 도출하며, 이는 가장 낮은 에너지 금속 모드의 기여만으로도 일관됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수량을 보존하는 랜덤 양자 회로가 수량을 보존하는 유니터리 군 위에서 $\varepsilon$-근사 $k$-디자인을 형성하기 위해 필요한 최소 깊이 $\tau$ 는 얼마인가?
• RQ2 U(1) 보존이 수량 보존이 없는 경우에 비해 랜덤 회로의 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 자발적 $U(1)^k$ 대칭 깨짐으로부터 유도되는 무간극 금속 모드가 회로 집합의 수렴 역학을 얼마나 깊이 지배하는가?
• RQ4 회로 집합의 유한한 모멘트가 $k < k_c$ 에서 전체 수량을 보존하는 유니터리 군에서 하르 측도와 구별 불가능한가?
• RQ5 수렴의 주요 기여는 가장 낮은 에너지 금속 모드에서 비롯되는가, 아니면 고파장 또는 고점유 모드가 유의미한 기여를 하는가?

주요 결과

• 회로 집합은 $k_c = O(L^d)$ 까지 수량을 보존하는 유니터리 군 위에서 $k$-디자인을 형성하며, 이에 따라 이 $k$ 까지의 모든 유한한 모멘트가 하르 측도와 구별 불가능하다.
• 수렴 깊이는 $\tau \gtrsim kL^{d+2}$ 비례하며, 이는 수량 보존이 없는 경우의 $\tau \gtrsim kL^d$ 보다 느리다.
• 느린 수렴은 $k$중 복제된 모델에서 자발적 $U(1)^k$ 대칭 깨짐으로부터 기인하는 무간극 금속 모드에 의해 지배된다.
• 수렴 속도에 대한 주요 기여는 가장 낮은 에너지 금속 모드에서 비롯되며, 고파장 및 고점유 모드는 지수적으로 억제된다.
• 유도된 $\tau$ 의 하한은 가장 낮은 에너지 모드만으로 예측된 점 渐진적 행동과 일치하여, 이 모드들이 수렴 역학에서 지배적임을 확인한다.
• 결과는 복제된 통계모델에서 변분 하한과 분할 함수 접근법을 사용하여 도출되었으며, 임의의 공간 차원 및 큐딧 차원에 대해 날카로운 하한일 것이라 추측된다.