[논문 리뷰] Unitary Representations of Wavelet Groups and Encoding of Iterated Function Systems in Solenoids

Dorin Ervin Dutkay, Palle E. T. Jørgensen외 1명|ArXiv.org|2007. 06. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전개 정수 행렬과 숫자 집합을 사용한 기하학적 수 체계를 제안하며, ℝᵈ의 점들을 ℒ 위의 무한어로 표현한다. 반복 함수 체계(IFS)와 솔레노이드 사이의 대응을 수립하고, IFS 역학의 순환 구조로부터 유도된 특정 격자에서 IFS의 구조물이 ℝᵈ를 테일링함을 증명함으로써, 기호적 공간과 솔레노이드 공간에서 유니터리 웨이블릿 표현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

For points in $d$ real dimensions, we introduce a geometry for general digit sets. We introduce a positional number system where the basis for our representation is a fixed $d$ by $d$ matrix over $\bz$. Our starting point is a given pair $(A, \mathcal D)$ with the matrix $A$ assumed expansive, and $\mathcal D$ a chosen complete digit set, i.e., in bijective correspondence with the points in $\bz^d/A^T\bz^d$. We give an explicit geometric representation and encoding with infinite words in letters from $\mathcal D$. We show that the attractor $X(A^T,\mathcal D)$ for an affine Iterated Function System (IFS) based on $(A,\mathcal D)$ is a set of fractions for our digital representation of points in $\br^d$. Moreover our positional "number representation" is spelled out in the form of an explicit IFS-encoding of a compact solenoid $\sa$ associated with the pair $(A,\mathcal D)$. The intricate part (Theorem ef{thenccycl}) is played by the cycles in $\bz^d$ for the initial $(A,\mathcal D)$-IFS. Using these cycles we are able to write down formulas for the two maps which do the encoding as well as the decoding in our positional $\mathcal D$-representation. We show how some wavelet representations can be realized on the solenoid, and on symbolic spaces.

연구 동기 및 목표

• 고정된 d×d 전개 정수 행렬 A와 완전한 숫자 집합 ℒ를 사용하여 ℝᵈ 내 위치 수 체계를 개발하는 것.
• ℒ 위의 무한어를 통한 ℝᵈ 점의 기호적 인코딩을 정의하고, 숫자 표현을 솔레노이드 역학과 연결하는 것.
• IFS의 순환 구조를 이용하여 IFS의 구조물 X(Aᵀ, ℒ)가 어떤 격자에 의해 ℝᵈ를 테일링하는지 조건을 규명하는 것.
• 구축된 인코딩을 통해 솔레노이드 및 기호적 공간에서 유니터리 웨이블릿 표현을 실현하는 것.
• 쌍대성과 군론적 방법을 통해 고전적 라디안 표현 및 테일링 결과를 고차원, 비균일 환경으로 일반화하는 것.

제안 방법

• ℤᵈ[A⁻¹]의 프로트리아닌 쌍대군을 이용해 솔레노이드 𝒮_A를 구성한다. 이는 A에 의한 ℤᵈ의 귀납적 극한이다.
• Aᵀ의 쌍대군에서의 작용에 의해 유도된 𝒮_A 위의 IFS (σ_l)_{l∈ℒ}를 정의한다. 여기서 σ_l(x) = Aᵀx + l mod ℤᵈ[A⁻¹]이다.
• ℝᵈ → 𝒮_A의 쌍대 준동형 사상 î를 정의하여 ℝᵈ를 솔레노이드에 임베딩함으로써 실수 점의 기호적 인코딩을 가능하게 한다.
• 마스크 함수 m_ℒ(ξ) = ∑_{d∈ℒ} e^{2πi⟨d,ξ⟩}에 대해 |m_ℒ(σ_l(x))| = 1인 점인 m_ℒ-순환을 분석한다. 이는 극단적 순환을 식별하는 데 쓰인다.
• 모든 −C(여기서 C는 m_ℒ-극단적 순환)를 포함하는 최소의 불변 격자 Λ를 정의하고, 그 쌍대 격자 Γ = Λ⁰를 설정한다.
• Hadamard 삼중체 (A, ℒ, ℒ)의 유니터리성과 순환 구조를 이용하여 X(Aᵀ, ℒ)가 Γ에 의한 이동으로 ℝᵈ를 테일링함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전개 행렬 A에 대한 일반적인 숫자 집합 ℒ를 어떻게 사용하여 ℝᵈ 내 위치 수 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 IFS 역학 (σ_l)_{l∈ℒ} 내 순환의 역할은 무엇이며, 이는 X(Aᵀ, ℒ)의 구조물이 어떤 격자에 의해 ℝᵈ를 테일링하는지 결정하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 조건에서 X(Aᵀ, ℒ)가 격자 Γ에 의한 이동으로 ℝᵈ를 테일링하는가?
• RQ4 IFS 인코딩을 통해 솔레노이드 𝒮_A 및 기호적 공간에서 유니터리 웨이블릿 표현을 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ5 마스크 함수 m_ℒ의 스펙트럼과 테일링 격자 Γ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 구조물 X(Aᵀ, ℒ)는 A 기반의 ℒ-디지털 표현을 갖는 ℝᵈ 점들의 집합이며, IFS 구조물과 수 체계 사이의 직접적 연결을 확립한다.
• 솔레노이드 𝒮_A는 ℒ 위의 무한어를 통한 명시적 IFS-인코딩을 갖는다. 여기서 î: ℝᵈ → 𝒮_A는 수 체계를 실현한다.
• Hadamard 삼중체 (A, ℒ, ℒ)의 경우, X(Aᵀ, ℒ)가 ℝᵈ를 테일링함은 물론이고, Γ = Λ⁰이 되는 것과 동치이며, 여기서 Λ는 m_ℒ-극단적 순환 C에 대해 −C를 포함하는 최소의 격자이다.
• 이중 드론의 경우 (A = [[1,1],[-1,1]], ℒ = {0,1}×{0}), 테일링 격자는 ℤ²이며, X(Aᵀ, ℒ)는 ℤ² 이동으로 ℝ²를 테일링한다.
• 클라우드 쓰리의 경우 (ℒ = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,1)}), 테일링 격자는 2ℤ×ℤ이며, 구조물은 이 격자에 의한 이동으로 ℝ²를 테일링한다.
• 클라우드 나인의 경우, 테일링 격자는 ℤ×2ℤ이며, X(Aᵀ, ℒ)는 이 격자에 의한 이동으로 ℝ²를 테일링한다. 이는 마스크 함수의 순환 분석을 통해 확인된다.