[논문 리뷰] Unitary transformation of the electronic Hamiltonian with an exact quadratic truncation of the Baker-Campbell-Hausdorff expansion

Robert A. Lang, Ilya G. Ryabinkin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반대칭 Pauli 곱의 치환 선형 조합( involutory linear combination, ILC)을 통한 Baker-Campbell-Hausdorff 전개의 정확한 이차 절단을 이용하여 전자 해밀토니안에 대한 새로운 유니터리 변환을 제안한다. 이 방법은 해밀토니안의 에르미트성 유지, 고전적으로 강한 전자 상관 효과 통합, 변동형 양자 고유값 해법(Variational Quantum Eigensolver, VQE) 응용에서 양자 자원 요구량을 크게 감소시켜 리튬 수소화물(LiH), 물(H₂O), 질소 분자(N₂)에 대해 기존 방법과 비교해 향상된 효율성을 보여준다.

ABSTRACT

Application of current and near-term quantum hardware to the electronic structure problem is highly limited by qubit counts, coherence times, and gate fidelities. To address these restrictions within the variational quantum eigensolver (VQE) framework, many recent contributions have suggested dressing the electronic Hamiltonian to include a part of electron correlation, leaving the rest to be accounted by VQE state preparation. We present a new dressing scheme that combines preservation of the Hamiltonian hermiticity and an exact quadratic truncation of the Baker-Campbell-Hausdorff expansion. The new transformation is constructed as the exponent of an involutory linear combination (ILC) of anti-commuting Pauli products. It incorporates important strong correlation effects in the dressed Hamiltonian and can be viewed as a classical preprocessing step alleviating the resource requirements of the subsequent VQE application. The assessment of the new computational scheme for electronic structure of the LiH, H$_2$O, and N$_2$ molecules shows significant increase in efficiency compared to conventional qubit coupled cluster dressings.

연구 동기 및 목표

• 변동형 양자 고유값 해법(Variational Quantum Eigensolver, VQE)을 위한 전자 구조 계산에서 양자 자원 요구량을 줄이기 위해.
• 해밀토니안의 에르미트성을 유지하면서 강한 전자 상관 효과를 통합하는 유니터리 변환을 개발하기 위해.
• 반대칭 Pauli 곱의 치환 선형 조합(ILC)을 사용하여 Baker-Campbell-Hausdorff 전개의 정확한 이차 절단을 실현하기 위해.
• 깊은 양자 회로가 필요로 하는 VQE에서의 부담을 줄이기 위해 고전적으로 효율적인 사전 처리 단계를 제공하기 위해.
• 리튬 수소화물(LiH), 물(H₂O), 질소 분자(N₂)와 같은 작은 분자에서 기저 상태 에너지 추정의 효율성과 정확도 향상을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 반대칭 Pauli 곱의 치환 선형 조합(ILC)의 지수로 구성된 유니터리 변환을 구축하여 BCH 전개의 정확한 이차 절단을 보장한다.
• ILC 유니터리는 참조 계산 기저 상태(Slater 결정)에 적용되어 단일 매개변수 τ의 삼각함수를 통해 정규직교 구성의 초위상 상태를 생성한다.
• 에너지 최소화 문제는 N+1개의 정규직교 상태로 이루어진 부분공간에서 표준 정규직교 고유값 문제로 재구성되며, 블로흐 각도의 삼각함수 다항식을 통해 고전적으로 행렬 요소를 계산한다.
• 참조 상태의 완화가 발생할 경우, 이미상수 위상 보정을 요소별 곱셈으로 적용하여 문제를 비직교 기저에 대한 일반화 고유값 시스템으로 변환한다.
• 두 단계의 반복적 MCSCF 유사 절차는 ILC 진폭과 블로흐 각도를 번갈아 최적화하며, 수렴할 때까지 각 반복에서 부분공간 기저를 갱신한다.
• 이 방법은 기저 상태 고유벡터에서 최적 매개변수 τ와 αi를 고전적으로 계산할 수 있게 하며, τ는 arccos(c₁)로 추출되고, αi는 c_{j}/sin(τ)로 추출된다.

Figure 1: a) PECs for the ground state CAS( $2$ e, $2$ o) LiH dissociation in different methods. QCC(5) ansatz uses the bare qubit Hamiltonian and 5 entanglers ( $\hat{x}_{1}\hat{y}_{3}$ , $\hat{x}_{1}\hat{y}_{3}\hat{x}_{4}$ , $\hat{x}_{1}\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}x_{4}$ , $\hat{x}_{1}\hat{y}_{2}\hat{x}

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Baker-Campbell-Hausdorff 전개의 정확한 이차 절단이 해밀토니안의 에르미트성을 유지하는 유니터리 변환에서 달성될 수 있는가?
• RQ2 반대칭 Pauli 곱의 치환 선형 조합(ILC)이 고전적으로 강한 전자 상관 효과를 효과적으로 해밀토니안에 통합할 수 있는가?
• RQ3 이 변환이 분자의 전자 구조 계산에서 VQE의 양자 회로 깊이와 큐비트 요구량을 크게 줄일 수 있는가?
• RQ4 에너지 정확도와 수렴 효율성 측면에서 이 방법은 기존의 큐비트 쌍결합 클러스터 드레싱 기법과 비교해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 이 방법은 수치적 안정성과 정확도를 유지하면서 느슨한 기저 상태로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 QCC-ILC 변환은 BCH 전개의 정확한 이차 절단을 달성하면서도 해밀토니안의 에르미트성을 유지한다.
• 이 방법은 N+1개의 정규직교 상태로 이루어진 작은 부분공간에서 다항식 스케일링 고유값 문제를 통해 최적의 유니터리 변환을 고전적으로 계산할 수 있도록 한다.
• LiH, H₂O, N₂에 대해 이 방법은 기존의 큐비트 쌍결합 클러스터 드레싱 기법 대비 VQE 응용에서 뚜렷한 효율성 향상을 보였다.
• 최적 매개변수 τ와 αi는 τ = arccos(c₁) 및 α_{j-1} = c_j / sin(τ)를 통해 기저 상태 고유벡터에서 추출되며, τ는 τ=0에서 에너지 기울기가 0이 아니므로 반드시 0이 아님을 보장한다.
• 반복적 MCSCF 유사 절차는 느슨한 기저 상태와 최적화된 ILC 진폭으로 수렴하며, 비직교 기저 상태는 일반화 고유값 공식으로 처리된다.
• 이 방법은 양자 회로 실행 이전에 강한 상관 효과를 통합함으로써 VQE에서의 양자 자원 부담을 줄이는 고전적으로 효율적인 사전 처리 단계를 제공한다.

Figure 2: a) PECs for the ground state of CAS( $4$ e, $4$ o) H 2 O along the symmetric bond stretch in different methods. QCC(5) employs the spin-penalized Hamiltonian and 5 entanglers ( $\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}\hat{x}_{5}\hat{x}_{6}$ , $\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}\hat{x}_{4}\hat{x}_{5}$ , $\hat{x}_{1}\ha