[논문 리뷰] Universal construction for the unsorted quantum search algorithms

Xijia Miao|ArXiv.org|2001. 01. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중 양자 연산자 대수 체계를 기반으로 한 보편 양자 검색 알고리즘을 제안하며, 지수형 전파 연산자를 오рак루 유니터리 연산—특히 선택적 위상 이동과 비선택적 유니터리 연산—으로 분해하여 실질적인 양자 검색 네트워크를 구성한다. 한편, 이 알고리즘의 계산 복잡도는 수치적 다변수 적분에 의존하며, Hua-Wang 방법과 같은 효율적인 적분 기법을 사용할 경우, 오라클 기반 보편 양자 컴퓨터에서 비순환 시간 내에 비순차 검색 문제를 해결할 수 있을 것으로 기대된다.

ABSTRACT

The multiple-quantum operator algebra formalism has been exploited to construct generally an unsorted quantum search algorithm. The exponential propagator and its corresponding effective Hamiltonian are constructed explicitly that describe in quantum mechanics the time evolution of a multi- particle two-state quantum system from the initial state to the output of the unsorted quantum search problem. The exponential propagator usually may not be compatible with the mathematical structure and principle of the search problem and hence is not a real quantum search network, but it can be further decomposed into a product of a series of the oracle unitary operations such as the selective phase-shift operations and the nonselective unitary operations which can be expressed further as a sequence of elementary building blocks such as one-qubit quantum gates and the two-qubit diagonal phase gates, resulting in that the decomposed propagator is compatible with the mathematical structure and principle of the search problem and thus, becomes a real quantum search network. The decomposition for the propagator can be achieved with the help of the operator algebra structure and symmetry of the effective Hamiltonian, and the properties of the multiple-quantum operator algebra spaces, especially the characteristic transformation behavior of the multiple-quantum operators under the z-axis rotations. It has been shown that the computational complexity of the search algorithm is dependent upon that of the numerical multidimensional integration and hence it is believed that the search algorithm could solve efficiently the unsorted search problem. An NMR device is also proposed to solve efficiently the unsorted search problem in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 양자역학 원칙에 부합하는 비순차 양자 검색 알고리즘을 위한 일반적이고 보편적인 구축 방법을 개발하기 위해.
• 지수형 전파 연산자가 검색 문제의 수학적 구조와 호환되지 않음을 해결하기 위해, 이를 물리적으로 실현 가능한 유니터리 연산으로 분해하기 위해.
• 알고리즘의 계산 복잡도가 수치적 다변수 적분에 의존함을 보여주며, 다항 시간 효율성의 가능성을 제안하기 위해.
• 단계적 위상 사이클링과 Trotter-Suzuki 분해를 통해 NMR 장치 및 오라클 보편 양자 컴퓨터를 활용한 실용적 구현을 제안하기 위해.
• 질량적인 양자 병렬 처리를 활용하여 양자 컴퓨터가 일반적인 NP 문제를 효율적으로 해결할 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 다중 입자 이중 상태 양자 시스템의 시간 진화를 초기 상태에서 목표 상태로 기술하기 위해 다중 양자 연산자 대수 체계를 사용한다.
• 비순차 검색 과정의 이상화된 시간 진화를 모델링하기 위해 지수형 전파 연산자와 그에 해당하는 효과적 해밀토니안을 구성한다.
• 수학적으로 호환되지 않는 전파 연산자를 선택적 위상 이동과 비선택적 유니터리 연산을 포함한 오라클 유니터리 연산의 순서로 분해한다.
• 기본 구성 요소인 단일 큐비트 양자 게이트와 이중 큐비트 대각 위상 게이트를 사용하여 분해된 전파 연산자를 표현한다.
• 다중 양자 연산자가 z축 회전에 대해 가지는 특성적 변환 행동을 활용하여 위상 사이클링과 효율적인 분해를 가능하게 한다.
• Trotter-Suzuki 이론과 수치적 다변수 적분을 활용하여 효과적 해밀토니안을 근사하며, 격자 점 수가 효율성에 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수학적으로 일관되고 물리적으로 실현 가능한 보편 양자 검색 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 수학적으로 호환되지 않는 지수형 전파 연산자를 물리적으로 실현 가능한 유니터리 연산으로 분해하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 알고리즘의 계산 복잡도는 수치 적분에 어떻게 의존하며, 이를 다항 시간으로 만들 수 있는가?
• RQ4 제안된 알고리즘은 NMR 기반 양자 컴퓨터 또는 오라클 보편 양자 컴퓨터에서 효율적으로 구현될 수 있는가?
• RQ5 이 접근 방식은 비순차 검색 문제에 대해 다항 시간 내에 해결 가능하게 하여 일반적인 NP 문제의 다항 시간 효율성 가능성을 시사하는가?

주요 결과

• 지수형 전파 연산자는 정확한 시간 진화를 기술하지만, 비순차 검색 문제의 수학적 구조와 호환되지 않으며, 따라서 실질적인 양자 검색 네트워크가 아니다.
• 전파 연산자는 성공적으로 선택적 위상 이동과 비선택적 유니터리 연산의 순서로 분해되며, 이는 양자역학 원칙과 호환되며 실질적인 양자 검색 네트워크를 형성한다.
• 알고리즘의 계산 복잡도는 효과적 해밀토니안을 근사하기 위해 필요한 수치적 다변수 적분의 복잡도에 의해 주로 결정된다.
• Hua-Wang 수론적 방법과 같은 효율적인 적분 기법을 사용할 경우, 차원 수에 비례해 격자 점 수가 지수적으로 증가하지 않으며, 다항 시간 가능성에 유리하다.
• NMR 장치에서는 오라클 유니터리 연산을 직접 실현함으로써 비순차 검색 문제를 다항 시간 내에 해결 가능한 배낭 문제로 변환할 수 있다.
• 제안된 양자 네트워크 U_S는 오라클 보편 양자 컴퓨터에서 효율적인 양자 검색 네트워크로 여겨지며, 일반적인 NP 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있다는 가능성을 뒷받침한다.