[논문 리뷰] Universal enveloping Lie Rota-Baxter algebra of preLie and post-Lie algebras

Vsevolod Gubarev|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 22.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리 라오-박서 대수와 전-리 대수, 후-리 대수에 대해 리 라오-박서 대수의 일반화된 포함 대수를 리-샤르쇼프 단어와 부분적으로 교환 가능한 기저를 사용하여 구성한다. 이는 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$와 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ 쌍이 PBW-쌍임을 증명하고, 리 라오-박서 대수의 다양체가 슈라이어가 아님을 규명하여 비결합 대수학과 일반 대수학 분야에서 오랫동안 남아 있던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

Universal enveloping Lie Rota-Baxter algebras of pre-Lie and post-Lie algebras are constructed. It is proved that the pairs of varieties (Lie Rota-Baxter algebras of zero weight,preLie algebras) and (Lie Rota-Baxter algebras of nonzero weight,post-Lie algebras) are PBW-pairs and the variety of Lie Rota-Baxter algebras is not Schreier.

연구 동기 및 목표

• 전-리 및 후-리 대수에 대해 일반화된 포함 리 라오-박서 대수를 구성하는 것.
• 쌍 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$와 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$가 PBW-쌍을 이룬다거나 아닌지를 판단하는 것.
• 리 라오-박서 대수의 다양체의 슈라이어 성질을 조사하는 것.
• 이전 연구에서 제기된 일반 대수학과 라오-박서 구조 분야의 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 결과 [20]를 바탕으로 생성 집합 위의 자유 리 라오-박서 대수를 이용해 일반화된 포함 리 라오-박서 대수를 구성한다.
• 리-샤르쇼프 단어와 $R$-문자에 대한 귀납법을 통해 자유 리 라오-박서 대수의 표준 기저 $E$를 정의한다.
• 전-리 및 후-리 연산을 $x \cdot y = [R(x), y]$와 수정된 괄호 항등식을 통해 존중하는 선형 결합 위의 곱 $*$를 도입한다.
• 단어의 차수와 총 차수에 대한 귀납법을 적용하여 구성된 대수에서 자코비 항등식을 검증한다.
• 항등식 $[R(x), [u,v]] = [[R(x),u],v] + [u,[R(x),v]]$를 사용해 자유 RB-대수의 모든 기본 원소가 기저 $E$를 통해 선형적으로 표현 가능함을 보여 이sov의 보장한다.
• 기존의 비-슈라이어 다양체와 자유 대수의 구조에 대한 결과를 활용하여 리 라오-박서 대수의 비-슈라이어 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 전-리 대수에 대해 일반화된 포함 리 라오-박서 대수가 존재하는가? 만약 존재한다면 어떻게 구성되는가?
• RQ2 쌍 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$와 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$가 $\lambda \neq 0$일 때 PBW-쌍인가?
• RQ3 리 라오-박서 대수의 다양체는 슈라이어인가? 즉, 자유 대수의 부분대수는 항상 자유인가?
• RQ4 전-리 및 후-리 대수의 대수적 구조는 서로 다른 무게를 가진 라오-박서 연산자와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 전-리 대수의 일반화된 포함 리 라오-박서 대수는 동일한 생성 집합 위의 자유 리 라오-박서 대수의 몫으로 구성된다.
• 후-리 대수의 일반화된 포함 리 라오-박서 대수도 유사하게 구성되며, $R(u)*R(v) = R(R(u)*v + u*R(v) + u*v)$를 포함하는 수정된 곱 규칙을 사용한다.
• 쌍 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$는 PBW-쌍이다. 즉, 일반화된 포함 대수 구성법이 PBW 성질을 유지한다.
• 무게 $\lambda \neq 0$에 대해 쌍 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ 역시 PBW-쌍이다.
• 리 라오-박서 대수의 다양체는 슈라이어가 아니다. 즉, 자유 리 라오-박서 대수의 부분대수가 항상 자유가 아니기 때문이다.
• 전-리 대수가 비-슈라이어라는 사실은 일반화된 포함 구성법을 통해 리 라오-박서 대수에게도 동일하게 적용된다.