[논문 리뷰] Universal finite-size gap scaling of the quantum Ising chain

Masaki Oshikawa|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 14.

Quantum many-body systems참고 문헌 45인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일계수 가우스형 경계 조건의 일족에서 양자 이징 체인의 보편적인 유한 체적 갭 스케일링 함수를 유도하며, 자발적 대칭성의 붕괴로 인해 비대칭 갭 행동이 드러나게 된다. 1+1차원에서 메이저라 페르미온 장 이론을 사용하여, 갭이 결함에서의 결합 상태와 페르미온 수 파리티 반전에 의해 지배됨을 보이며, 결함 강도와 질량 매개변수 공간에서 비자명한 교차 상전도도를 이끌어낸다.

ABSTRACT

I study the universal finite-size scaling function for the lowest gap of the quantum Ising chain with a one-parameter family of ``defect'' boundary conditions, which includes periodic, open, and antiperiodic boundary conditions as special cases. The universal behavior can be described by the Majorana fermion field theory in $1+1$ dimensions, with the mass proportional to the deviation from the critical point. Although the field theory appears to be symmetric with respect to the inversion of the mass (Kramers-Wannier duality), the actual gap is asymmetric, reflecting the spontaneous symmetry breaking in the ordered phase which leads to the two-fold ground-state degeneracy in the thermodynamic limit. The asymptotic ground-state degeneracy in the ordered phase is realized by (i) formation of a bound state at the defect (except for the periodic/antiperiodic boundary condition) and (ii) effective reversal of the fermion number parity in one of the sectors (except for the open boundary condition), resulting in a rather nontrivial crossover ``phase'' diagram in the space of the boundary condition (defect strength) and mass.

연구 동기 및 목표

• 비임계점에서 벗어난 양자 이징 체인에서 가장 낮은 에너지 갭의 보편적인 유한 체적 스케일링을 이해하기 위해.
• 일반화된 주기적, 개방형, 반주기적 경계 조건을 포함하는 결함 경계 조건이 갭 스케일링과 저에너지 스펙트럼에 어떻게 영향을 주는지 분석하기 위해.
• 일차원 양자 임계 시스템에서 크라머스-반너 이론, 자발적 대칭성의 붕괴, 유한 체적 효과 간의 상호작용을 밝혀내기 위해.
• 결함 강도와 질량 매개변수 공간에서의 전체 교차 상전도도를 유도하여, 결합 상태의 출현과 파리티 반전 효과를 포함하기 위해.

제안 방법

• 임계점에서의 편차에 비례하는 질량 항을 가진 1+1차원 자유 메이저라 페르미온 장 이론으로 양자 이징 체인을 매핑하기 위해.
• 표준 경계 조건을 연결하고 비자명한 산란 및 결합 상태 형성을 允허하는 일계수 가우스형 경계 조건의 일족을 도입하기 위해.
• 격자 고유값 방정식을 재귀 관계로 풀어, $ t \neq \Delta $ 인 경우에 결합 상태를 포함한 선형 독립 고유상태를 식별하기 위해.
• 연속체 근사에서 결함에서의 매칭 조건을 적용하여 산란 및 반사 진폭을 유도하고, 제로 에너지 메이저라 모드 존재 조건을 포함하기 위해.
• 유도된 산란 진폭을 사용하여 유한 체적 에너지 갭을 계산하고, 다양한 경계 조건에서 보편 스케일링 함수를 식별하기 위해.
• 장 이론의 대칭성 구조를 분석하고, 정렬된 상에서의 붕괴를 통해 이중 지배 상태의 degeneracy와 비자명한 페르미온 수 파리티 효과를 이끌어내기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 이징 체인에서 다양한 결함 경계 조건에 걸쳐 유한 체적 갭 스케일링 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 기본 장 이론의 크라머스-반너 이론 대칭성에도 불구하고 갭이 비대칭 스케일링을 보이는 이유는 무엇인가?
• RQ3 결함에서의 결합 상태와 페르미온 수 파리티 반전은 저에너지 스펙트럼에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 결함 강도와 질량 매개변수 공간에서의 교차 상전도도는 대칭성 붕괴와 유한 체적 효과의 상호작용으로 어떻게 유도되는가?
• RQ5 어떤 조건에서 결함에서 메이저라 제로 모드가 나타나며, 이는 산란 진폭과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 유한 체적 갭 스케일링은 보편적이며, 임계점에서의 거리에 비례하는 질량 항을 가진 1+1차원 메이저라 페르미온 장 이론에 의해 지배된다.
• 장 이론의 크라머스-반너 이론 대칭성에도 불구하고, 정렬된 상에서의 자발적 대칭성 붕괴로 인해 실제 갭은 비대칭이다.
• 정렬된 상에서 이중 지배 상태의 degeneracy는 (i) 결함에서의 결합 상태 형성(주기적/반주기적 조건 제외)과 (ii) 한 쪽 섹터에서의 효과적 페르미온 수 파리티 반전(개방 경계 제외)을 통해 발생한다.
• 전송 진폭 $ T $ 는 $ t\cos\phi_1 + \Delta\cos\phi_2 = 0 $ 일 때 0이 되며, 이는 결함에서 메이저라 제로 모드 존재를 시사한다.
• $ t \neq \Delta $ 인 경우, 각 에너지 수준에서 네 개의 선형 독립 고유상태가 존재하여 평면파 외에 추가적인 결합 상태 유사 모드 존재를 나타낸다.
• 시스템은 결함 강도와 질량 매개변수 공간에서 비자명한 교차 상전도도를 보이며, 결합 상태와 파리티 효과에 의해 지배되는 서로 다른 물리적 영역을 포함한다.