[논문 리뷰] Universal fluctuations and ergodicity of generalized diffusivity on critical percolation clusters

Adrian Pacheco-Pozo, Igor M. Sokolov|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 21.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 연구는 임계 퍼콜레이션 클러스터에서의 부분확산 운동을 대규모 수치 시뮬레이션을 통해 조사하여, 자가평균이 없는 상황에서도 평균제곱이동(MSD)의 보편적인 변동성을 규명한다. 이는 시간평균 MSD가 에르고딕성을 보이지만, 상대적 변동성이 궤적 길이에 따라 특수하게 감소함으로써, 동일한 허스트 지수를 가진 분수 브라운 운동과는 다름을 밝혀낸다.

ABSTRACT

Despite a long history and a clear overall understanding of properties of random walks on an incipient infinite cluster in percolation, some important information on it seems to be missing in the literature. In the present work, we revisit the problem by performing massive numerical simulations for (sub)diffusion of particles on such clusters. Thus, we discuss the shape of the probability density function (PDF) of particles' displacements, and the way it converges to its long-time limiting scaling form. Moreover, we discuss the properties of the mean squared displacement (MSD) of a particle diffusing on the infinite cluster at criticality. This one is known not to be self-averaging. We show that the fluctuations of the MSD in different realizations of the cluster are universal, and discuss the properties of the distribution of these fluctuations. These strong fluctuations coexist with the ergodicity of subdiffusive behavior in the time domain. The dependence of the relative strength of fluctuations in time-averaged MSD on the total trajectory length (total simulation time) is characteristic for diffusion in a percolation system and can be used as an additional test to distinguish this process with disorder-induced memory from processes with otherwise similar behavior, like fractional Brownian motion with the same value of the Hurst exponent.

연구 동기 및 목표

• 임계 상태에서의 초기 무한 퍼콜레이션 클러스터에서 부분확산 운동의 에르고딕성 및 통계적 성질을 조사한다.
• 이러한 시스템에서 입자 이동의 확률밀도함수(PDF)의 형태와 수렴 특성을 분석한다.
• 다양한 클러스터 실현에서의 평균제곱이동(MSD)의 비자기평균적 성질을 특성화한다.
• MSD의 변동 통계가 보편적인지, 그리고 궤적 길이에 따라 어떻게 달라지는지 규명한다.
• 동일한 허스트 지수를 가진 분수 브라운 운동과 비교하여 시간평균 MSD의 상대적 변동성 감소 패턴을 통해 질서에 기인한 부분확산 운동과 기억에 기반한 과정을 구별한다.

제안 방법

• 결합 퍼콜레이션 임계점(p = 0.5)에서 2차원 정사각형 격자에서 연속시간 랜덤워크의 대규모 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 각 실현에서 유한 클러스터와 무한 클러스터를 분리하기 위해 Hoshen-Kopelman 알고리즘을 사용한다.
• 기다림 시간이 지수분포를 따르고, 이웃 격자점으로의 점프가 발생하는 입자 궤적을 Gillespie 알고리즘으로 시뮬레이션한다.
• 개별 궤적에 대한 시간평균 MSD(TAMSD)와 열역학적 역사 MSD를 계산하고, 집단 평균 양상을 분석한다.
• 1000~5000개의 독립적 클러스터 실현에서 MSD 값의 분포를 분석하여 변동성의 보편성 평가를 수행한다.
• 동일한 허스트 지수를 가진 분수 브라운 운동과 비교하여 TAMSD의 상대적 변동성 감소 패턴을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 퍼콜레이션 클러스터에서의 부분확산 운동에서 입자 이동의 확률밀도함수(PDF)는 어떻게 진화하고, 그 스케일링 형태로 수렴하는가?
• RQ2 동일한 클러스터의 다양한 실현에서 평균제곱이동(MSD)의 변동은 어느 정도이며, 이러한 변동은 보편적인가?
• RQ3 MSD에서 자가평균이 없음에도 시간평균 MSD에서 시간에 따른 에르고딕성이 유지되는가?
• RQ4 시간평균 MSD의 상대적 변동성이 궤적 총 길이에 따라 어떻게 감소하는가? 이는 퍼콜레이션에 기인한 부분확산 운동과 분수 브라운 운동을 구별하는 데 기여하는가?
• RQ5 일반화된 확산계수(즉, MSD 변동성 통계)의 통계적 성질이 격자 유형이나 개미 모델(시야가 있는 경우 vs. 없는 경우)에 따라 독립적인가? 이는 보편성에 기반한 것인가?

주요 결과

• 입자 이동의 PDF는 중심 피크의 좁아짐을 통해 스케일링 형태로 수렴하며, 이는 강한 공간적 질서를 가진 시스템의 특징적인 패tern이다.
• 퍼콜레이션 클러스터의 각 실현에서의 MSD는 강한 비자기평균적 변동성을 보이며, 고정된 시간에서의 MSD 값 분포는 서로 다른 클러스터 간에 보편적이다.
• 자기평균이 없음에도 시간평균 MSD는 여전히 에르고딕성을 유지하며, 장시간에 걸쳐 시간 평균이 동일한 집단 평균으로 수렴함을 시사한다.
• 시간평균 MSD의 상대적 변동성은 궤적 길이가 길어질수록 감소하며, 이는 동일한 허스트 지수를 가진 분수 브라운 운동과는 다름을 보이며, 질서에 기인한 부분확산 운동을 진단할 수 있는 서명이 된다.
• MSD의 변동 통계는 보편적이며, 퍼콜레이션 유형(bond vs. site)이나 개미 모델(myopic vs. blind)과 무관하게 유지되며, 이는 이러한 변형들 사이에서 보편성이 확인됨을 뒷받침한다.
• 시간에 따라 변하는 일반화된 확산계수 K(t) = ⟨x²(t)⟩/t²/dw의 분포는 클러스터의 자기유사성 구조로 인해 장시간에 걸쳐 시간에 독립적이 된다. 이는 특성 척도가 존재하지 않음을 확인한다.