[논문 리뷰] Universal Malliavin Calculus in Fock and Lévy-Itô Spaces

David Applebaum|ArXiv.org|2008. 08. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 힐버트 공간 위의 포크 공간에서 보편적인 말리아빈 미적분을 개발하며, 정확한 정의역과 L² 노름의 등가성을 갖는 추상적 기울기 및 발산 연산자를 수립한다. 추상 이토-스코로호드 등식을 증명하고, 레비 과정에 대해 레비-이토 공간과 포크 공간을 동일시하는 쌍대 변환을 통해 이 프레임워크를 적용함으로써, 말리아빈 미분과 발산 연산자의 최대 정의역에서의 핵심 성질을 유도한다.

ABSTRACT

We review and extend Lindsay's work on abstract gradient and divergence operators in Fock space over a general complex Hilbert space. Precise expressions for the domains are given, the $L^2$-equivalence of norms is proved and an abstract version of the Itô-Skorohod isometry is established. We then outline a new proof of Itô's chaos expansion of complex Lévy-Itô space in terms of multiple Wiener-Lévy integrals based on Brownian motion and a compensated Poisson random measure. The duality transform now identifies Lévy-Itô space as a Fock space. We can then easily obtain key properties of the gradient and divergence of a general Lévy process. In particular we establish maximal domains of these operators and obtain the Itô-Skorohod isometry on its maximal domain.

연구 동기 및 목표

• 일반 힐버트 공간 위의 포크 공간에서 특정 확률 모델에 종속되지 않는 보편적인 말리아빈 미적분을 개발하기 위해.
• 린드세이의 추상 기울기 및 발산 연산자를 정의역 특성화, 노름 등가성, 등식성질에 대한 완전한 증명을 통해 확장하기 위해.
• 레비-이토 공간과 포크 공간을 동일시하는 쌍대 변환을 수립하여 추상 연산자의 구조적 성질을 확률 미적분학으로 이전할 수 있도록 하기 위해.
• 레비 과정에 대해 발산 연산자의 최대 정의역에서 이토-스코로호드 등식을 도출하기 위해.
• 모든 혼돈 표현을 갖는 과정, 특히 레비 과정을 포함한 모든 과정에 적용 가능한 통합된 말리아빈 미적분 프레임워크를 포크 공간의 등장사상에 의해 제공하기 위해.

제안 방법

• 일반 복소 힐버트 공간 위의 포크 공간에서 정의된 보편적인 소멸 및 생성 연산자 (∇⁻ 및 ∇⁺)를 정의하고, 정확한 정의역 사양을 제시하기 위해.
• 노름의 L² 등가성을 증명하기 위해 (I + N)⁻¹ᐟ² 가 L² 공간과 제1차 소볼레프 공간 D²₁ 사이의 유니터리 등장사상임을 보임으로써.
• 기존 비예측적 확률 미적분학에서의 고전 등식을 일반화한 추상 이토-스코로호드 등식을 ∇⁺에 대해 수립하기 위해.
• 쌍대 변환 U 를 사용하여 레비-이토 공간과 포크 공간을 동일시하고, 다중 위너-레비 적분을 포크 공간 벡터로 매핑하기 위해.
• 레비-이토 분해에서 브라운 운동과 포아송 성분의 독립성 구조를 활용하여 기울기, 발산, 수량 연산자를 텐서 tích의 형태로 인수분해하기 위해.
• 인수분해된 연산자를 적용하여 식 (5.31) 형태의 이토-스코로호드 등식을 도출하며, 이는 모든 X, Y ∈ D²₁(H) 에 대해 유효하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 힐버트 공간 위의 포크 공간에서 추상 기울기 및 발산 연산자를 정의역을 명시적으로 특성화하여 엄밀하게 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 추상 이토-스코로호드 등식과 확률 미적분학에서의 고전 등식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 쌍대 변환 U 가 레비-이토 공간과 포크 공간을 어떻게 동일시하는가? 이 등장사상 하에서 어떤 구조적 성질이 유지되는가?
• RQ4 레비 과정에 대해 말리아빈 미분과 발산 연산자의 최대 정의역은 무엇이며, 이는 추상 연산자와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 레비 과정의 혼돈 분해는 포크 공간 방법을 통해 도출될 수 있는가? 이 프레임워크는 가우시안 과정과 점프형 과정을 통합적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 보편적인 소멸 연산자 ∇⁻ 의 최대 정의역은 수량 연산자를 포함한 제곱-integrable 노름을 갖는 포크 공간 벡터의 형태로 특성화된다.
• 노름의 L² 등가성은 (I + N)⁻¹ᐟ² 가 L² 공간과 제1차 소볼레프 공간 D²₁ 사이의 유니터리 등장사상임을 증명함으로써 확립된다.
• 보편적인 생성 연산자 ∇⁺ 에 대해 추상 이토-스코로호드 등식이 증명되었으며, 이는 고전적 등식을 추상 포크 공간 설정으로 일반화한다.
• 쌍대 변환 U 는 레비-이토 공간과 포크 공간을 동일시하며, 추상 연산자의 성질을 확률적 설정으로 이전하는 데 기여한다.
• 레비 과정의 기울기 및 발산 연산자는 브라운 운동과 포아송 성분의 텐서곱 형태로 분해되며, 적절한 정의역에서 δ = (δB ⊗ I)π*₁ + (I ⊗ δN)π*₂ 를 만족한다.
• 이토-스코로호드 등식은 E(δ(X)δ(Y)) = ∫S E(X(s)Y(s))μ(ds) + ∫S∫S E(DtX(s)DsY(t))μ(ds)μ(dt) 의 형태로 복구되며, 이는 모든 X, Y ∈ D²₁(H) 에 대해 유효하다.