[논문 리뷰] Universal Padé approximants on simply connected domains

Nicholas J. Daras, Grigorios Fournodavlos외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 10.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소평면의 단순연결 영역에서 패드 근사에 대한 처음으로 일반적인 보편성 결과를 확립한다. 베어의 범주 정리(Бaire's category theorem)를 사용하여, $ A(\Omega) $ 내의 해석적 함수들 중 밀도가 높은 $ G_\delta $ 집합에서, 차수를 증가시키는 패드 근사의 부분수열이 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 내의 연결된 보 complement 를 가진 컴팩트 집합 $ K \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 에서 임의의 다항식을 균일하게 근사하고, 또한 $ \Omega $ 의 컴팩트 부분집합에서 함수 자체를 균일하게 근사함을 증명한다. 이는 $ \Omega $ 가 특정 위상적 조건을 만족할 경우에 성립한다.

ABSTRACT

The theory of universal Taylor series can be extended to the case of Padé approximants where the universal approximation is not realized by polynomials any more, but by rational functions, namely the Padé approximants of some power series. We present the first generic result in this direction, for Padé approximants corresponding to Taylor developments of holomorphic functions in simply connected domains. The universal approximation is required only on compact sets $K$ which lie outside the domain of definition and have connected complement. If the sets $K$ are additionally disjoint from the boundary of the domain of definition, then the universal functions can be smooth on the boundary.

연구 동기 및 목표

• 단순연결 영역에서 타일러 급수 이론을 패드 근사로 확장하기.
• 해석적 함수의 존재를 보장하여, 그 패드 근사가 도메인 외부의 컴팩트 집합에서 다항식을 보편적으로 근사함을 보장하기.
• 근사 집합이 $ \partial\Omega $ 와 이격되어 있을 경우, 보편 함수가 경계까지 매끄럽게 연장될 수 있음을 보장하기.
• 위상적 일반성(тополог적 보편성)을 사용하여, $ A(\Omega) $ 의 밀도가 높은 $ G_\delta $ 부분집합에서 이러한 보편 함수가 존재함을 증명하기.

제안 방법

• 균일 수렴에 관한 컴팩트 수렴 위상에서 $ \overline{\Omega} $ 에 연속인 해석적 함수들의 공간인 $ A(\Omega) $ 에 베어의 범주 정리를 적용하기.
• $ \tilde{p}_n \to \infty $ 를 만족하는 수열 $ (\tilde{p}_n, \tilde{q}_n) $ 를 포함하는 $ \mathfrak{F} \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ 의 가족을 정의하여 패드 근사를 생성하기.
• $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 를 완전히 덮는 연결된 보 complement 를 가진 컴팩트 집합 $ K_m \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 과 유사하게 $ \Omega $ 내의 컴팩트 부분집합 $ L_m \subset \Omega $ 의 내포된 수열을 구성하기.
• $ A(\Omega) $ 의 완비성과 베어의 범주 정리를 사용하여 보편 함수의 집합이 밀도가 높고 $ G_\delta $ 임을 보여주기.
• 이러한 함수에 대해 패드 근사 $ [p_n/q_n]_{f,\zeta} $ 가 $ K $ 에서 모든 다항식 $ P $ 로, 그리고 $ \Omega $ 의 컴팩트 부분집합에서 $ f(z) $ 로 균일 수렴함을 증명하기.
• 만약 $ K $ 가 $ \partial\Omega $ 와 이격되어 있을 경우, 보편 함수가 $ \overline{\Omega} $ 에 연속적으로 연장될 수 있으며, 이때 $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ 가 연결되어 있어야 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순연결 영역 $ \Omega $ 외부의 컴팩트 집합에서, $ A(\Omega) $ 내의 일반적인 해석적 함수에 대해 패드 근사가 다항식을 보편적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 보편 함수가 경계 $ \overline{\Omega} $ 에 연속적으로 연장될 수 있도록 선택할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 동일한 패드 근사 수열을 사용하여, $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 에서 다항식과 $ \Omega $ 에서 함수 자체를 동시에 근사할 수 있는가?
• RQ4 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 의 위상, 특히 $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ 의 연결성은 보편 패드 근사의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 보편 근사는 경계 뿐 아니라 $ \Omega $ 의 컴팩트 부분집합으로도 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 단순연결 영역 $ \Omega \subset \mathbb{C} $ 에 대해 $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ 가 연결되어 있고 $ \overline{\Omega}^o = \Omega $ 를 만족할 경우, $ A(\Omega) $ 에서 밀도가 높은 $ G_\delta $ 집합의 함수 $ f $ 가 존재하여, 그 패드 근사 $ [p_n/q_n]_{f,\zeta} $ 가 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 내의 연결된 보 complement 를 가진 컴팩트 집합 $ K \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 에서 임의의 다항식 $ P $ 를 균일하게 근사한다.
• 컴팩트 집합 $ K $ 가 $ \partial\Omega $ 와 이격되어 있을 경우, 보편 함수 $ f $ 는 $ \overline{\Omega} $ 에 연속적으로 연장될 수 있으며, 근사식은 $ \Omega $ 의 컴팩트 부분집합에서 $ f $ 로 균일 수렴한다.
• 동일한 수열 $ (p_n, q_n) $ 에 대해, 보편 함수 $ f $ 에 대해 패드 근사가 $ L \subset \Omega $ 에서 변수 $ z \in L $ 과 중심 $ \zeta \in L $ 에 대해 균일하게 수렴한다.
• 이러한 보편 함수의 집합은 $ A(\Omega) $ 에서 밀도가 높고 $ G_\delta $ 이며, 이는 위상적 일반성임을 의미한다.
• 결과는 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 내의 모든 단순연결 영역 $ G \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 에서 균일하게 성립하며, 위어스트라스 정리에 의해 모든 도함수의 수렴이 가능하다.
• 결과는 비다항식 함수 $ P \in A(K) $ 로는 확장될 수 없으며, 이는 비고(Remark 3.6)에서 언급된 lin.