[논문 리뷰] Universal Probability Distribution for the Wave Function of an Open Quantum System

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz외 3명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 28.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 환경과의 얽힘 상태에서 유도된 개방 양자 시스템의 조건부 파동함수 ψ₁이 일반적으로 GAP 측도로 알려진 보편적인 확률분포를 따른다는 것을 입증한다. 주어진 축소 밀도 행렬 ρ₁를 가진 일반적인 얽힘 상태에서 ψ₁의 분포 µ₁는 GAP(ρ₁)에 가까운데, 약한 결합과 좁은 에너지 창문 조건 하에서는 GAP(ρβ)로 수렴한다. 여기서 ρβ는 캐논리컬 열역학적 밀도 행렬이며, 이는 GAP(ρβ)가 열역학적 평형 분포로 간주될 수 있음을 정당화한다.

ABSTRACT

An open quantum system (i.e., one that interacts with its environment) is almost always entangled with its environment; it is therefore usually not attributed a wave function but only a reduced density matrix ρ. Nevertheless, there is a precise way of attributing to it a wave function ψ1, called its conditional wave function, which is a random wave function of the system whose probability distribution µ1 depends on the entangled wave function ψ ∈ H1 ⊗ H2 in the Hilbert space of system and environment together. We prove several universality (or typicality) results about µ1; they show that if the environment is sufficiently large then µ1 does not depend much on the details of ψ and is approximately given by one of the so-called GAP measures. Specifically, for most entangled states ψ with given reduced density matrix ρ1, µ1 is close to GAP (ρ1). We also show that, if the coupling between the system and the environment is weak, then for most entangled states ψ from a microcanonical subspace corresponding to energies in a narrow interval [E, E + δE] (and most bases of H2), µ1 is close to GAP (ρβ) with ρβ the canonical density matrix on H1 at inverse temperature β = β(E). This provides the mathematical justification of the claim that GAP (ρβ) is the thermal equilibrium distribution of ψ1.

연구 동기 및 목표

• 환경와 얽힌 개방 양자 시스템의 조건부 파동함수 ψ₁의 확률분포를 이해하는 것.
• 이 분포가 전체 얽힘 상태 ψ의 구체적 세부 사항에 의존하는지, 아니면 보편적인지 결정하는 것.
• 고정된 ρ₁를 가진 일반적인 얽힘 상태에서 µ₁이 수학적으로 GAP(ρ₁)로 수렴함을 증명하는 것.
• 약한 결합과 좁은 에너지 창문 조건 하에서 µ₁이 GAP(ρβ), 즉 캐논리컬 열역학적 분포로 수렴하는지 조사하는 것.
• GAP(ρβ)가 시스템 파동함수의 열역학적 평형 분포임이라는 주장에 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 전역 얽힘 상태 ψ ∈ H₁ ⊗ H₂에서 유도된 H₁ 내의 랜덤 벡터로서의 조건부 파동함수 ψ₁을 정의한다.
• 보른 규칙을 사용하여 전역 상태 ψ에 의해 유도된 ψ₁의 확률분포 µ₁을 정의한다.
• 양자 통계역학의 일반성 원리 적용을 통해 고정된 축소 밀도 행렬 ρ₁를 가진 대부분의 전역 상태 ψ에 대해 분포 µ₁이 GAP(ρ₁)에 가까운 것을 보인다.
• 에너지가 [E, E + δE] 범위에 속하는 전역 상태의 미세상태 하위공간을 도입하고, 이 하위공간 내의 일반적인 상태들을 고려한다.
• 시스템-환경 간의 약한 결합과 H₂의 일반적인 기저 조건 하에서, ψ₁의 분포 µ₁이 GAP(ρβ)에 가까운 것을 보이며, 여기서 ρβ는 역온도 β = β(E)에서의 캐논리컬 밀도 행렬이다.
• 고차원 힐버트 공간에서의 측도 집중 현상을 이용하여 GAP 측도의 보편성과 일반성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 ρ₁에 대해 조건부 파동함수 ψ₁의 확률분포 µ₁이 전체 얽힘 상태 ψ의 구체적 형태에 의존하는가, 아니면 보편적인가?
• RQ2 주어진 축소 밀도 행렬 ρ₁를 가진 일반적인 얽힘 상태에서, 분포 µ₁이 GAP 측도 GAP(ρ₁)에 가까운가?
• RQ3 약한 결합과 좁은 에너지 창문 조건 하에서, µ₁이 ρβ의 열역학적 GAP 측도 GAP(ρβ)로 수렴하는가? 여기서 ρβ는 역온도 β에서의 캐논리컬 밀도 행렬이다.
• RQ4 GAP(ρβ) 분포는 개방 양자 시스템에서 ψ₁의 보편적 평형 분포인가?
• RQ5 고차원 양자 상태의 측도 집중 원리를 이용해 µ₁의 일반성을 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 축소 밀도 행렬 ρ₁를 가진 대부분의 얽힘 전역 상태 ψ에 대해, 조건부 파동함수 ψ₁의 분포 µ₁은 GAP 측도 GAP(ρ₁)에 가까운 편이다.
• 시스템-환경 간의 결합이 약하고 ψ가 에너지 [E, E + δE] 범위에 속하는 미세상태 하위공간에서 추출될 경우, 분포 µ₁은 β = β(E)가 에너지 E에 대응하는 역온도일 때 GAP(ρβ)에 가까운 편이다.
• µ₁이 GAP(ρβ)로 수렴하는 결과는 미세상태 하위공간 내 대부분의 전역 상태 ψ와 H₂의 대부분의 기저에 대해 성립한다.
• 이 결과는 개방 양자 시스템에서 시스템 파동함수의 열역학적 평형 분포로 GAP(ρβ)를 간주하는 데 엄밀한 정당성을 제공한다.
• GAP 측도의 보편성은 전역 상태 ψ의 특정 세부 사항과 무관하게 고차원 힐버트 공간에서의 일반성 원리에 기반한다.