[논문 리뷰] Universal Proof Theory: Semi-analytic Rules and Uniform Interpolation

Amirhossein Akbar Tabatabai, Raheleh Jalali|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 19.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 하위구조적 및 모odal 논리에서 종료되는 다결론 서uent 계산법에 기반한 반분석 규칙과 균일 보간 성질 사이의 일반화된 연결을 수립한다. 종료되는 계산법을 사용하는 모든 논리, 즉 초점화된 축약과 다결론 반분석 규칙을 사용하는 $\mathbf{FL_e}$, $\mathbf{FL_{ew}}$, $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{IPC}$, $\mathbf{CPC}$ 및 그들의 $\mathbf{K}$와 $\mathbf{KD}$ 확장은 균일 보간 성질을 만족함을 증명한다. 또한, $\mathbf{FL_e}$의 어떤 확장도 균일 보간 성질을 갖지 않는 한 이러한 종료되는 계산법을 가질 수 없음을 보이며, $\mathbf{K4}$와 $\mathbf{S4}$와 같은 논리들은 합리적인 종료되는 계산법을 갖지 못함을 배제한다.

ABSTRACT

In \cite{Craig}, we introduced a syntactically defined and highly general class of calculi known as \emph{semi-analytic}. We then demonstrated that any sufficiently strong (modal) substructural logic with a semi-analytic calculus must satisfy the Craig interpolation property. In this paper, we show that if the calculus is also terminating in a certain formal sense, then its logic has the Uniform Interpolation Property (UIP). This result has significant applications. On the positive side, it provides a uniform and modular method for proving UIP for various logics, including $\mathsf{FL_e}$, $\mathsf{FL_{ew}}$, $\mathsf{CFL_e}$, $\mathsf{CFL_{ew}}$, and their $K$, $D$, and $T$-type modal extensions, as well as $\mathsf{CPC}$, $\mathsf{K}$, and $\mathsf{KD}$. However, its more striking consequence lies in the negative direction. It extends the negative results of \cite{Craig} to logics with CIP but without UIP. In particular, it shows that the modal logics $\mathsf{K4}$ and $\mathsf{S4}$ do not have a terminating semi-analytic calculus. extbf{keywords:} Uniform interpolation, Sequent calculi, Substructural logics, Modal logics, Subexponential modalities

연구 동기 및 목표

• 초기유추 논리에 국한되지 않고 하위구조적 및 모odal 논리로 Iemhoff의 종료되는 서uent 계산법과 균일 보간 사이의 연결을 일반화하기 위해.
• 초점화된 규칙을 넘어서 다결론 반분석 규칙을 포함하는 규칙의 범주를 확장하기 위해.
• 다양한 명제 및 모odal 논리에서 균일 보간 성질을 증명하는 통일된 방법을 제공하기 위해.
• 부정적인 결과를 수립하여, 특정 유형의 규칙을 포함하는 종료되는 계산법을 가질 수 있는 논리가 균일 보간 성질을 갖는 경우에만 가능함을 보여주기 위해.
• 논리적 규칙성 조건에 따라 종료되는 계산법의 존재를 특성화하여 보편 증명 이론의 기초를 다지기 위해.

제안 방법

• 다결론 반분석 규칙의 개념을 도입하여, 공식의 출현과 부가 조건에 대한 구조적 제약 조건을 유지하면서 초점화된 규칙을 일반화한다.
• 초점화된 축약을 원자적이고 부가 조건 제약 조건을 만족하는 규칙으로 정의하여, 계산법의 종료성과 균일 보간 메커니즘과의 호환성을 확보한다.
• 종료되는 계산법에서 서언의 복잡도에 대한 귀납법을 사용하여, 어떤 공식에 대해서도 균일 보간자를 구성한다. 이는 계산법의 종료성에 의해 유도된 잘 순서화된 순서에 의존한다.
• 임의의 서언에 대해, 반분석 규칙과 $(L\to)$, $(R\to)$, $(R\vee)$, 그리고 모달 규칙 $K$와 $D$와 같은 구조적 규칙의 반복적 적용을 통해 균일 보간자의 존재를 유도한다.
• 이전 연구의 정리들(예: [7], [8])을 활용하여 인 intuitionistic 체계에서 하위구조적 및 모odal 환경으로 결과를 이전한다. 계산법의 종료성과 규칙 구조를 통해 균일성을 보장한다.
• 특정 논리들에 결과를 적용하기 위해, 표준 계산법이 요구 조건을 충족하는지 확인한다: 반분석 규칙, 초점화된 축약, 종료성(특히 수축이 없는 경우).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종료되는 서언 계산법과 균일 보간 사이의 관계는 초기유추 논리를 넘어서 하위구조적 및 모odal 논리로 확장될 수 있는가?
• RQ2 초점화된 규칙을 일반화하면서도 종료되는 계산법에서 균일 보간자를 유도할 수 있는 능력을 유지하는 규칙의 범주는 무엇인가?
• RQ3 이 일반화된 프레임워크를 통해 어떤 논리들이 균일 보간 성질을 갖는 것으로 보일 수 있는가?
• RQ4 균일 보간 성질을 갖지 않는 한 특정 유형의 규칙을 포함하는 종료되는 서언 계산법을 가질 수 없는 논리는 있는가?
• RQ5 이 프레임워크를 사용하여 $\mathbf{K4}$와 $\mathbf{S4}$와 같은 특정 논리들에 대해 합리적인 종료되는 계산법의 존재를 체계적으로 배제할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 종료되는 다결론 서언 계산법은 $\mathbf{CFL_e}$를 확장하고 있으며, 초점화된 축약과 다결론 반분석 규칙로 구성되어 있다면 강력한 $H$-균일 보간 성질을 만족한다.
• $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{CPC}$ 및 그들의 $\mathbf{K}$와 $\mathbf{KD}$ 모달 확장은 모두 균일 보간 성질을 갖는다.
• $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{CPC}$의 표준 수축 없는 계산법은 반분석 규칙과 초점화된 축약 때문에 균일 보간 조건을 충족한다.
• $\mathbf{FL_e}$의 어떤 확장도 균일 보간 성질을 갖지 않는 한, 반분석 규칙과 컨텍스트 공유 반분석 규칙, 초점화된 축약을 포함하는 종료되는 서언 계산법을 가질 수 없다.
• $\mathbf{K4}$와 $\mathbf{S4}$는 단일 또는 다결론 반분석 규칙과 초점화된 축약을 포함하는 종료되는 서언 계산법을 갖지 못한다.
• $\mathbf{IPC}$, $\mathbf{LC}$, $\mathbf{KC}$, $\mathbf{Bd_2}$, $\mathbf{Sm}$, $\mathbf{GSc}$, $\mathbf{CPC}$를 제외한 초기유추 논리 중 어떤 것도 이러한 종료되는 계산법을 갖지 못한다.