[논문 리뷰] Universal properties of penetrative turbulent Rayleigh--B\'enard convection in cold water near $4^\circ m{C}$

Wang, Qi, Reiter, Philipp외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 16.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 16

한 줄 요약

이 연구는 4°C 근처 냉수에서 밀도 최대치가 나타나는 투과성 난류 레일리-베나르 대류를 조사한다. 여기서 물의 밀도 최대치는 새로운 제어 매개변수인 밀도 역전 매개변수 θm를 유도한다. 이는 이론적으로 유도하고 수치적으로 검증한 Ra에 의존하지 않는 보편적인 관계 θc(θm) = (1 + θm²)/2를 통해 중앙 높이 온도를 설명하며, Ra에 따라 결정되는 임계 θm,c에서 급격한 감소가 발생한다. 또한 열전달에 대한 보편적 스케일링 Nu(θm)/Nu(0)를 확립한다.

ABSTRACT

Penetrative turbulence, which occurs in a convectively unstable fluid layer and penetrates into an adjacent, originally stably stratified layer, is numerically and theoretically analyzed. We chose the most relevant example, namely thermally driven flow of water with a temperature around $T_m\approx 4^\circ m{C}$, where it has its density maximum. We pick the Rayleigh-B\'enard geometry with the bottom plate temperature $T_b > 4^\circ m{C}$ and the top plate temperature $T_t \le 4^\circ m{C}$. Next to the overall thermal driving strength set by the temperature difference $\Delta = T_b - T_t$ (the Rayleigh number $Ra$ in dimensionless form), the crucial new control parameter as compared to standard Rayleigh-B\'enard convection is the density inversion parameter $ heta_m \equiv (T_m - T_t ) / \Delta$. The crucial response parameters are the relative mean mid-height temperature $ heta_c$ and the overall heat transfer (i.e., the Nusselt number $Nu$). We theoretically derive the universal (i.e., $Ra$-independent) dependence $ heta_c ( heta_m) =(1+ heta_m^2)/2$, which holds for $ heta_m$ below a $Ra$-dependent critical value, beyond which $ heta_c ( heta_m)$ sharply decreases and drops down to $ heta_c=1/2$ at $ heta_m= heta_{m,c}$. Our direct numerical simulations with $Ra$ up to $10^{10}$ are consistent with these results. The critical density inversion parameter $ heta_{m,c}$ can be precisely predicted by a linear stability analysis. The heat flux $Nu( heta_m)$ monotonically decreases with increasing $ heta_m$ and we can theoretically derive a universal relation for the relative heat flux $Nu( heta_m)/Nu(0)$. Finally, we numerically identify and discuss rare transitions between different turbulent flow states for large $ heta_m$.

연구 동기 및 목표

• 4°C에서 물의 밀도 최대치가 난류 레일리-베나르 대류에 미치는 영향를 이해하기 위해.
• 투과성 대류에서 새로운 제어 매개변수로 작용하는 밀도 역전 매개변수 θm = (Tm − Tt)/∆ 의 역할을 규명하고 분석하기 위해.
• 레이일리 수 Ra에 독립적인 중앙 높이 온도 θc와 열전달 Nu(θm)에 대한 보편적 스케일링 법칙을 유도하고 검증하기 위해.
• 직접 수치 시뮬레이션을 통해 고 θm 값에서 희귀한 난류 흐름 상태 전이를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 2차 유한차분 코드(AFiD)를 사용한 2D 및 3D 레일리-베나르 대류의 수치 시뮬레이션으로, 수평 방향은 주기적 경계 조건, 경계면은 슬립이 없는 동일한 온도 조건을 적용하였다.
• 길이 척도로 H, 속도 척도로 Uf = (gα∆qH)1/2를 사용하여 비차원화하였으며, 온도는 θ = (T − Tt)/∆로 스케일링 하였다.
• 기본 방정식은 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 비선형 부력력 |θ − θm|q ez를 포함하며, 온도의 대류-확산 방정식도 포함한다.
• 시뮬레이션 범위는 Ra = 10⁷에서 10¹⁰, Pr = 11.57(4°C에서의 물), θm는 0에서 거의 1까지이며, Γ = 2(2D) 및 Γ = 4(3D)이다.
• 선형 안정성 분석을 통해 θc가 급격히 감소하기 시작하는 임계 밀도 역전 매개변수 θm,c를 예측하였다.
• 에너지 및 운동량 균형에 기반한 이론적 유도를 통해 θc(θm) 및 Nu(θm)/Nu(0)에 대한 보편적 관계를 도출하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 역전 매개변수 θm는 투과성 대류에서 중앙 높이 온도 θc의 보편적 스케일링을 어떻게 규제하는가?
• RQ2 Ra에 독립적인 중앙 높이 온도 프로파일 θc(θm)의 이론적 형태는 무엇이며, 어느 θm에서 붕괴되는가?
• RQ3 열전달(Nusselt 수 Nu)은 θm에 대해 어떻게 보편적으로 의존하며, Nu(θm)/Nu(0)의 스케일링 법칙을 도출할 수 있는가?
• RQ4 고 θm에서 발생하는 난류 흐름 상태 전이 현상은 무엇이며, 이는 시스템의 안정성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• θm가 임계 값 θm,c 이하일 경우 중앙 높이 온도 θc는 보편적 관계 θc(θm) = (1 + θm²)/2를 따른다.
• θm,c를 초과하면 θc는 급격히 감소하며, θm = 1에서 1/2로 떨어지며, 이는 대류의 투과가 완전히 억제됨을 나타낸다.
• 임계 밀도 역전 매개변수 θm,c는 선형 안정성 분석을 통해 정확히 예측되며, 강한 정렬 효과의 시작을 나타낸다.
• Nusselt 수 Nu(θm)는 θm 증가에 따라 단조롭게 감소하며, 이론적으로 보편적 스케일링 Nu(θm)/Nu(0)를 도출하였다.
• 직접 수치 시뮬레이션(Ra 최대 10¹⁰)을 통해 θc(θm)의 이론적 예측과 Nu(θm)/Nu(0) 스케일링이 모두 확인되었다.
• 큰 θm에서 희귀한 다양한 난류 흐름 상태 간의 전이가 수치적으로 관측되었으며, 이는 완전히 안정된 정렬 상태 근처에서의 복잡한 역학을 시사한다.