[논문 리뷰] Universal Translationally-Invariant Hamiltonians

Stephen Piddock, Johannes Bausch|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 22.

Quantum many-body systems참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 근처 이웃 상호작용을 갖는 2차원 큐디트 격자에서 이동 불변성과 보편성을 갖는 양자 시뮬레이터를 구축한다. 역사 상태 및 타일링 기법을 사용하여 목표 해밀토니안의 스펙트럼을 시뮬레이터의 저에너지 부분공간에 임bed한다. 핵심 결과는 임의의 국소 해밀토니안을 오직 이동 불변성 있는 상호작용만을 사용하여 임의의 정밀도로 시뮬레이션할 수 있다는 점이며, 이는 다체 국소화와 같은 복잡한 현상이 이동 불변 시스템에서도 나타날 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

In this work we extend the notion of universal quantum Hamiltonians to the setting of translationally-invariant systems. We present a construction that allows a two-dimensional spin lattice with nearest-neighbour interactions, open boundaries, and translational symmetry to simulate any local target Hamiltonian---i.e. to reproduce the whole of the target system within its low-energy subspace to arbitrarily-high precision. Since this implies the capability to simulate non-translationally-invariant many-body systems with translationally-invariant couplings, any effect such as characteristics commonly associated to systems with external disorder, e.g. many-body localization, can also occur within the low-energy Hilbert space sector of translationally-invariant systems. Then we sketch a variant of the universal lattice construction optimized for simulating translationally-invariant target Hamiltonians. Finally we prove that qubit Hamiltonians consisting of Heisenberg or XY interactions of varying interaction strengths restricted to the edges of a connected translationally-invariant graph embedded in $\mathbb{R}^D$ are universal, and can efficiently simulate any geometrically local Hamiltonian in $\mathbb{R}^D$.

연구 동기 및 목표

• 열린 경계 조건이 존재하는 상황에서도 이동 불변인 보편 시뮬레이터 해밀토니안의 존재를 입증한다.
• 이동 불변 시스템이 질서나 국소화를 갖는 임의의 국소 해밀토니안을 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다.
• 역사 상태 및 타일링 기법을 사용하여 계산과 목표 해밀토니안의 매개변수를 인코딩하는 보편 시뮬레이터를 구축한다.
• R^D 내 이동 불변 그래프에서 헤이젠베르크 또는 XY 상호작용이 R^D 내 기하학적으로 국소 해밀토니안을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있음을 증명한다.
• 시스템 크기와 오차의 역수에 대해 정밀도가 다항식적으로 스케일링되며, 상호작용의 이동 불변성을 유지하는 조건 하에서 시뮬레이션 정밀도를 확보한다.

제안 방법

• 열린 경계 조건과 이동 불변성 있는 국소 및 근처 이웃 상호작용을 갖는 2차원 큐디트 격자를 구성한다.
• 타일링 구조를 사용하여 가로 폭 W와 세로 높이 H를 왼쪽과 아래 모서리에 이진수로 인코딩한다.
• 역사 상태 해밀토니안을 정의하여 하단 왼쪽 모서리에서 시작하는 양자 튜링 기계를 시뮬레이션하고, 표시된 삼각형 및 정사각형 영역을 둘러싸는 방식으로 진행한다.
• 솔로바이-키타에프 근사법을 통해 단일 큐비트 회전을 구현하여 목표 해밀토니안 매개변수(예: 상호작용 강도)를 시스템에 인코딩한다.
• 퍼티urbation 이론을 사용하여 목표 해밀토니안을 효과적인 저에너지 이론으로 임베딩하고, 원하는 부분공간에 투영하는 프로젝터 해밀토니안을 정의한다.
• 퍼티urbation 기반 기구를 적용하여 역사 상태 해밀토니안을 H_sim = Δ₁H₁ + Δ₂H₂ 형태의 보편 시뮬레이터 해밀토니안으로 변환하며, 조절 가능한 스케일링 매개변수 Δ₁, Δ₂를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 불변 해밀토니안은 임의의 국소 양자 해밀토니안을 임의의 정밀도로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 일般적으로 질서가 있는 시스템과 연관되지만, 이동 불변 시스템에서도 다체 국소화가 나타날 수 있는가?
• RQ3 2차원 격자에서 오직 근처 이웃 상호작용과 이동 불변성만을 사용하여 보편 시뮬레이터를 구성할 수 있는가?
• RQ4 주어진 목표 해밀토니안을 이동 불변 상호작용으로 시뮬레이션하기 위해 필요한 최소 자원 비용(격자 크기, 국소 차원)은 얼마인가?
• RQ5 R^D 내 이동 불변 그래프에서 헤이젠베르크 또는 XY 상호작용은 R^D 내 기하학적으로 국소 해밀토니안을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• 근처 이웃 상호작용과 열린 경계 조건을 갖는 2차원 큐디트 격자에서 이동 불변 보편 시뮬레이터 해밀토니안 H_sim이 존재한다.
• 시뮬레이터는 목표 해밀토니안 H_target을 정밀도 ϵ으로 시뮬레이션할 수 있으며, 격자 크기 W×H = poly(Δ, 1/η, 1/ϵ, J_max) × 2^poly(n)로 설정되며, 여기서 n은 H_target 내 큐디트의 수이다.
• 스케일링 매개변수는 Δ₁ = W⁵H⁵ 및 Δ₂ = WH로 설정되어 효과적인 목표 해밀토니안의 올바른 에너지 척도를 확보한다.
• 역사 상태 기법과 타일링을 사용하여 격자 치수와 목표 상호작용 매개변수를 시스템에 인코딩한다.
• 효과적인 저에너지 해밀토니안은 퍼티urbation 기반 기구와 솔로바이-키타에프 근사법을 통해 H_target과 오차 ‖H̃_target − H_target‖ ≤ ϵ/2로 근사한다.
• R^D 내 이동 불변 그래프에서 헤이젠베르크 또는 XY 상호작용은 R^D 내 기하학적으로 국소 해밀토니안을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있으며, 이러한 상호작용 유형에 대한 보편성의 증명이 된다.