[논문 리뷰] Universal Unitary Photonic Circuits by Interlacing Discrete Fractional Fourier Transform and Phase Modulation

Matthew Markowitz, Mohammad‐Ali Miri|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 14.

Optical Network Technologies인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 파라미터 조절이 가능한 위상 이동층 N+1개와 이산 분수 푸리에 변환(DFrFT) 단계를 번갈아 배치하여 임의의 N×N 유니터리 행렬을 보편적으로 구현하는 광학 회로 아키텍처를 제안한다. 파이프라인 배열에서 물리적으로 실현 가능한 DFrFT를 활용하고 기울기 기반 최적화 방법을 통해 위상 매개변수를 최적화함으로써, 기존 설계 대비 10배 작아진 크기로 보편적인 유니터리 연산을 달성하며, M=N+1층일 때 오차 노름의 계기 전이가 발생한다.

ABSTRACT

We introduce a novel parameterization of complex unitary matrices, which allows for the efficient photonic implementation of arbitrary linear discrete unitary operators. The proposed architecture is built on factorizing an $N imes N$ unitary matrix into interlaced discrete fractional Fourier transforms and $N$-parameter diagonal phase shifts. We show that such a configuration can represent arbitrary unitary operators with $N+1$ phase layers. We discuss a gradient-based algorithm for finding the optimal phase parameters for implementing a given unitary matrix. By increasing the number of phase layers beyond the critical value of $N+1$, the optimization consistently converges faster as the system becomes over-determined. We propose an integrated photonic circuit realization of this architecture with coupled waveguide arrays and reconfigurable phase modulators. The proposed architecture can pave the way for developing novel families of programmable photonic circuits for optical classical and quantum information processing.

연구 동기 및 목표

• 통합 광학에서 임의의 N×N 유니터리 행렬을 구현하기 위한 컴팩트하고 확장 가능한 광학 아키텍처를 개발하는 것.
• 기존의 DFT나 빔 스플리터 네트워크 기반 설계에 비해 필요한 위상층 수와 장치 길이를 줄이는 것.
• 효율적인 광학적 구현을 위해 교차 배치된 DFrFT와 대각 위상 이동소자로 유니터리 행렬을 매개변수화하는 것.
• M=N+1이면 보편적 표현이 충분하며, 이 이상으로 M을 늘일수록 최적화 수렴 속도가 빨라진다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• N×N 유니터리 행렬을 N+1개의 대각 위상 이동 행렬(Pm)과 이산 분수 푸리에 변환(DFrFT) 연산자(F)의 연쇄로 인수분해하며, U = F P_M F ... P_1 F 형태를 취한다.
• DFrFT는 특정 해밀토니안 H를 가진 Jx 파이프라인 배열을 사용하여 물리적 광학적 실현을 달성한다.
• 최적의 위상 매개변수(θi^m)를 결정하기 위해 기울기 기반 최적화 알고리즘, 특히 Levenberg-Marquardt 알고리즘(LMA)을 사용한다.
• 목표 유니터리 행렬과 근사 행렬 간의 오차 노름(L)을 단계 수(M)의 함수로 평가한다.
• 랜덤 N×N 유니터리 행렬의 집합에서 시스템을 테스트하며, 다양한 M과 N에서 수렴 및 오차 행동을 분석한다.
• M=N+1일 때 시스템이 과잉 결정되어 있으며, 이는 M=N일 때보다 더 빠르고 신뢰할 수 있는 최적화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N+1개의 위상층만을 가진 광학 회로가 임의의 N×N 유니터리 행렬을 보편적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 이산 분수 푸리에 변환의 사용이 기존의 DFT나 빔 스플리터 기반 아키텍처보다 더 컴팩트하고 효율적인 구현을 가능하게 하는가?
• RQ3 신뢰성 있고 빠른 최적화를 위해 필요한 위상층의 임계 수는 얼마인가?
• RQ4 N+1개를 초과하는 위상층 수를 늘일 경우 최적화 과정의 수렴 속도와 정확도는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 이 아키텍처는 DFT 기반 설계 대비 10배 작아진 장치 길이로도 유니터리 행렬을 보편적으로 구현한다.
• M=N+1층일 때 오차 노름에 급격한 계기 전이가 발생하며, 이는 보편적 표현을 위해 필요한 최소 수임을 시사한다.
• M > N+1일 경우 최적화 수렴 속도가 크게 향상되며, M=N+2일 때 일관된 성능과 감소된 반복 수를 보인다.
• N=16일 때 M=N+2층을 사용하면 단일 LMA 실행에서 오차 노름 ≤10−10을 달성할 확률이 약 50%이며, M=N+1일 경우 성공 확률은 약 1%로 감소한다.
• 조기 종료된 LMA를 사용하더라도, N=16에서 M=N+2층을 사용하면 목표 오차 노름 10−5를 약 90% 확률로 달성할 수 있다.
• M=N+3 이상을 사용할 경우 큰 N에 대해서도 실용적이며, 과잉 결정이 확장 가능한 광학 회로의 구현 가능성을 향상시킨다.