[논문 리뷰] Universality for the largest eigenvalue of a class of sample covariance matrices

Zhigang Bao, Guangming Pan외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 21.

Random Matrices and Applications참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평균이 0이고 분산이 1인 i.i.d. 성분을 가진 $X$에 대해 고차원 표본 공분산 행렬 $\Sigma^{1/2}XX^*\Sigma^{1/2}$의 최대 고유값에 대해 보편성을 확립한다. 그린 함수 비교 방법을 사용하여, $\Sigma$와 $x_{ij}$의 분포에 일반적인 조건이 만족될 경우, 정규화된 최대 고유값이 복소수 경우에 트레이시-위드먼 분포 $\Sigma_2$로 약하게 수렴하고, 실수 스파이크된 경우에 $\Sigma_1$로 수렴함을 보이며, 이는 이전 결과를 비-i.i.d. 및 비대각 행렬 $\Sigma$로 확장한다. 주요 기여는 영가설 사례($\Sigma = I$)를 초월한 보편성 확보이다.

ABSTRACT

This paper is aimed at deriving the universality of the largest eigenvalue of a class of high-dimensional real or complex sample covariance matrices of the form $\mathcal{W}_N=\Sigma^{1/2}XX^*\Sigma ^{1/2}$. Here, $X=(x_{ij})_{M,N}$ is an $M imes N$ random matrix with independent entries $x_{ij},1\leq i\leq M,1\leq j\leq N$ such that $\mathbb{E}x_{ij}=0$, $\mathbb{E}|x_{ij}|^2=1/N$. On dimensionality, we assume that $M=M(N)$ and $N/M ightarrow d\in(0,\infty)$ as $N ightarrow\infty$. For a class of general deterministic positive-definite $M imes M$ matrices $\Sigma$, under some additional assumptions on the distribution of $x_{ij}$'s, we show that the limiting behavior of the largest eigenvalue of $\mathcal{W}_N$ is universal, via pursuing a Green function comparison strategy raised in [Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 341-407, Adv. Math. 229 (2012) 1435-1515] by Erdős, Yau and Yin for Wigner matrices and extended by Pillai and Yin [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 935-1001] to sample covariance matrices in the null case ($\Sigma=I$). Consequently, in the standard complex case ($\mathbb{E}x_{ij}^2=0$), combing this universality property and the results known for Gaussian matrices obtained by El Karoui in [Ann. Probab. 35 (2007) 663-714] (nonsingular case) and Onatski in [Ann. Appl. Probab. 18 (2008) 470-490] (singular case), we show that after an appropriate normalization the largest eigenvalue of $\mathcal{W}_N$ converges weakly to the type 2 Tracy-Widom distribution $\mathrm{TW}_2$. Moreover, in the real case, we show that when $\Sigma$ is spiked with a fixed number of subcritical spikes, the type 1 Tracy-Widom limit $\mathrm{TW}_1$ holds for the normalized largest eigenvalue of $\mathcal {W}_N$, which extends a result of Feral and Peche in [J. Math. Phys. 50 (2009) 073302] to the scenario of nondiagonal $\Sigma$ and more generally distributed $X$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 영가설 사례($\Sigma = I$)를 초월한 고차원 실수 또는 복소수 표본 공분산 행렬의 클래스에 대해 최대 고유값의 보편성을 확립하는 것.
• 원래 워이거 행렬에 대해 개발된 그린 함수 비교 방법을 일반 인구 공분산 $\Sigma$를 가진 표본 공분산 행렬로 확장하는 것.
• $\Sigma$가 고정된 수의 열등 고유값을 가진 스파이크된 경우에 최대 고유값의 극한 분포를 결정하는 것.
• 고차원 설정에서 가우시안 및 비가우시안 성분에 대한 트레이시-위드먼 극한에 관한 이전 결과들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 에르데시, 요우, 얀(Erdœs, Yau, and Yin, 2012)가 제안한 그린 함수 비교 전략을 일반 $\Sigma$를 가진 표본 공분산 행렬에 적응하는 것.
• 표본 공분산 행렬의 그린 함수와 기준 집단의 그린 함수를 비교하기 위해 미분방정식 접근법을 구현하는 것.
• 고유값의 밀도 및 가장자리 행동을 제어하기 위해 경험적 스펙트럼 분포에 대한 국소 법칙을 사용하는 것.
• 일반적인 $\Sigma$ 하에서의 극한 스펙트럼 분포를 모델링하기 위해 변형된 워이거 반원 법칙을 적용하는 것.
• 비가우시안 성분을 다루기 위해 린데베르크 유형의 치환 전략을 활용하면서도 가장자리 보편성을 유지하는 것.
• 비가우시안 행렬에 대한 알려진 트레이시-위드먼 극한과 비교 결과를 조합하여 보편적인 가장자리 변동을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $\Sigma$가 일반적인 양의 정부호 행렬이고 $X$가 평균이 0, 분산이 1인 i.i.d. 성분을 가질 경우, $\mathcal{W}_N = \Sigma^{1/2}XX^*\Sigma^{1/2}$의 최대 고유값의 극한 분포가 여전히 보편적인가?
• RQ2 일반적인 $\Sigma$ 하에서 복소수 경우에 정규화된 최대 고유값이 트레이시-위드먼 분포 $\mathrm{TW}_2$로 보편적인 극한으로서 나타나는가?
• RQ3 만약 $\Sigma$가 고정된 수의 열등 고유값을 가진 스파이크된 경우에 실수 경우로의 보편성 결과가 확장되는가?
• RQ4 그린 함수 비교 방법이 비-i.i.d. 성분과 항등행렬이 아닌 $\Sigma$를 가진 표본 공분산 행렬에 어떻게 적응되는가?
• RQ5 일반적인 $\Sigma$와 일반적인 성분 분포에 대해 보편성 결과가 영가설 사례($\Sigma = I$)를 초월해 가장자리 보편성으로 유지되는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 일반적인 $\Sigma$와 $\mathbb{E}x_{ij}^2 = 0$ 조건을 만족하는 i.i.d. 성분을 가진 경우, 복소수 경우에 표본 공분산 행렬 $\mathcal{W}_N$의 정규화된 최대 고유값은 약하게 트레이시-위드먼 분포 $\mathrm{TW}_2$로 수렴한다.
• 실수 경우에 $\Sigma$가 고정된 수의 열등 고유값을 가진 스파이크된 경우, 정규화된 최대 고유값은 약하게 $\mathrm{TW}_1$로 수렴하며, 페랄과 페체의 결과를 비대각 $\Sigma$로 확장한다.
• 입력 성분에 대한 미약한 모멘트 조건을 만족하는 일반적인 결정론적 $\Sigma$ 하에서, 고유값의 가장자리 행동에 대한 보편성이 확립된다. 이는 비가우시안 분포를 포함한다.
• 그린 함수 비교 방법은 비가우시안 성분을 가진 표본 공분산 행렬에 대해 보편적인 가장자리 행동을 가우시안 경우에서 비가우시안 경우로 성공적으로 이전시킨다.
• 수렴 속도와 유한 표본 행동는 정량화되지 않았지만, $N \to \infty$, $M/N \to d \in (0,\infty)$의 서론적 점근적 설정 하에서 트레이시-위드먼 법칙으로의 약한 수렴이 증명되었다.
• 이 결과는 가우시안 행렬에 대한 엘 카루이와 옹타스키의 발견을 일반 $\Sigma$를 가진 비가우시안 표본 공분산 행렬의 보편적 클래스로 일반화한다.