[논문 리뷰] Universality in the tripartite information after global quenches

Vanja Marić, Maurizio Fagotti|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 28.

Quantum many-body systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1차원 양자 스핀 체인에서의 전역 쿨링 이후 $I_3^{(\alpha)}$의 Rényi 삼분 정보를 조사하며, 장시간 한계에서 교차 비율 $x$에 대해 보편적 스케일링을 보임을 보여준다. 자유 페르미온과 이중인 시스템의 경우 잔류 삼분 정보—$x \to 1^{-}$의 극한으로 정의됨—는 Rényi 지수 $α$에 관계없이 항상 $-\log 2$이며, 이는 전역 쿨링 이후 정적 상태에서 비제로의 보편 양자 얽힘 특성을 나타낸다.

ABSTRACT

We consider macroscopically large 3-partitions $(A,B,C)$ of connected subsystems $A\cup B \cup C$ in infinite quantum spin chains and study the Rényi-$α$ tripartite information $I_3^{(α)}(A,B,C)$. At equilibrium in clean 1D systems with local Hamiltonians it generally vanishes. A notable exception is the ground state of conformal critical systems, in which $I_3^{(α)}(A,B,C)$ is known to be a universal function of the cross ratio $x=|A||C|/[(|A|+|B|)(|C|+|B|)]$, where $|A|$ denotes $A$'s length. We identify different classes of states that, under time evolution with translationally invariant Hamiltonians, locally relax to states with a nonzero (Rényi) tripartite information, which furthermore exhibits a universal dependency on $x$. We report a numerical study of $I_3^{(α)}$ in systems that are dual to free fermions, propose a field-theory description, and work out their asymptotic behaviour for $α=2$ in general and for generic $α$ in a subclass of systems. This allows us to infer the value of $I_3^{(α)}$ in the scaling limit $x ightarrow 1^-$, which we call ``residual tripartite information''. If nonzero, our analysis points to a universal residual value $-\log 2$ independently of the Rényi index $α$, and hence applies also to the genuine (von Neumann) tripartite information.

연구 동기 및 목표

• 전역 쿨링 이후 1차원 양자 스핀 체인에서 삼분 정보의 장시간 행동을 이해하기 위해.
• 정적 상태에서 Rényi 삼분 정보가 비제로이자 보편적인 조건을 규명하기 위해.
• 교차 비율 $x \to 1^{-}$의 극한에서 보편 잔류 삼분 정보가 존재하는지 확인하고, 그 값이 무엇인지 밝히기 위해.
• 스케일링 근처에서 $I_3^{(\alpha)}$의 장 이론 기술을 수립하고 수치적으로 검증하기 위해.
• 다양한 쿨링 프로토콜과 모델에서 보편 값 $-\log 2$의 일반성 탐색하기 위해.

제안 방법

• 연구는 일반화된 XY 모델의 자유 페르미온 이중체에 집중하며, 스핀 체인을 비상호작용 페르미온으로 매핑하기 위해 Jordan-Wigner 변환을 사용한다.
• Rényi-α 삼분 정보는 감쇠함수의 고유값으로부터 유도된 감소 밀도 행렬의 엔트로피를 사용하여 계산되며, 페르미온 상관 행렬 $\Gamma_{\ell n} = \delta_{\ell n} - \langle a_\ell a_n \rangle$를 활용한다.
• 분리된 블록의 경우, 참조 [24] 및 [39]에 기반한 일반화된 알고리즘을 사용하여 $S_\alpha(A \cup C)$를 계산하며, 정적 상태에서 장거리 항들만 유지한다.
• 장시간 정적 상태는 일반화된 급진 기체 분포로 기술되며, 이로부터 상관 행렬을 수치적으로 추출한다.
• 특히 $\alpha=2$의 경우 해석적으로 점점 가까워지는 행동을 유도하고, 일반적인 $\alpha$에 대해서는 추측을 내놓으며, 페르미온 두점 함수에 기반한 장 이론 기술을 사용한다.
• 교차 비율 의존성 $G_\alpha(x)$는 수치적으로 계산되어 분석 예측과 비교되며, 특히 $x \to 1^{-}$ 근처에서 분석된다.

Figure 1: Rényi-2 tripartite information for the quench in the XY model $(J_{x},J_{y},h):(1,1,1)\rightarrow(1,0.5,0.5)$ for $|A|=|C|\in\{45,90,180,360\}$ and variable $|B|$ . The solid curve is prediction ( 9 ). Inset: the relative error $\eta_{3}^{(2)}$ as a function of $l=\min(|A|,|B|,|C|)$ for al

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 양자 시스템에서 전역 쿨링 이후 삼분 정보가 장시간에 걸쳐 비제로이자 보편적인가?
• RQ2 교차 비율 $x \to 1^{-}$ 근처에서 보편 잔류 삼분 정보가 나타나며, 만약 그렇다면 그 값은 무엇인가?
• RQ3 잔류 삼분 정보는 Rényi 지수 $\alpha$에 독립적인가? von Neumann 극한($\alpha \to 1$)으로도 성립하는가?
• RQ4 장 이론 기술이 $I_3^{(\alpha)}$에 대해 CFT 예측과 어떻게 다를까? 특히 교차 대칭성이 없는 경우에 대해.
• RQ5 느리게 감쇠하는 상관관계는 정적 상태에서 보편적이며 비제로인 삼분 정보를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 교차 비율 $x \to 1^{-}$ 근처에서의 잔류 삼분 정보는 Rényi 지수 $\alpha$에 관계없이 항상 $-\log 2$이며, von Neumann 극한($\alpha \to 1$)에서도 동일하게 유지된다.
• $\alpha = 2$의 경우 점점 가까워지는 행동은 해석적으로 예측되며, $G_2(x) = \log\left(\frac{1 + (1 - x)^\gamma}{2}\right)$로 표현되며, 이는 $G_2(1^{-}) = -\log 2$를 유도한다.
• $G_2(x)$에 대한 수치 결과는 분석 예측과 뛰어난 일치를 보이며, 다양한 쿨링 프로토콜과 페르미온 매개변수에서 보편 행동을 확인한다.
• 계통은 교차 대칭성을 갖지 않아 $G_\alpha(x) \neq G_\alpha(1 - x)$이지만, $x \to 1^{-}$ 근처에서의 극한은 여전히 보편적이며 $-\log 2$와 같다.
• 잔류 삼분 정보는 상관관계가 느리게 감쇠할 때에만 비제로이며, 열적 상태나 갭이 있는 시스템에서는 사라지므로, 이는 비평형 상태에서의 보편적인 특성임을 시사한다.
• 이 결과는 $-\log 2$가 전역 쿨링 이후 1차원 시스템에서 특정 비열적, 장수명 양자 상태의 보편적 서명일 수 있음을 시사한다.

Figure 2: Rényi- $\alpha$ tripartite information at infinite time after the quench from $\ket{\ldots\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\ldots}$ under the XY Hamiltonian ( 3 ) with $(J_{x},J_{y},h)=(1,0.5,0)$ for $|A|=|C|\in\{50,100,150,200\}$ and variable $|B|$ . The solid curves are predictions (