[논문 리뷰] Universality of smoothness of Density of States in arbitrary higher-dimensional disorder under non-local interactions I. From Viéte--Euler identity to Anderson localization

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 28.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 73인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원에서 비국소적 상호작용을 갖는 불순물이 있는 양자 시스템에서 통합 밀도 상태( IDS )의 보편적 미분 가능성(smoothness)을 확립한다. $ d \geq 2 $ 에서는 무한히 미분 가능함을 증명하고, $ d = 1 $ 에서는 허더 연속성을 보인다. 이 메커니즘은 장거리 상호작용에 의해 발생하는 다중 컨볼루션을 통해 발생하며, 심지어 특이하거나 이산적인 불순물 분포일지라도 이를 정규화하여 표준 웨그너 추정을 초월하는 향상된 스펙트럼 정규성을 이끌어내며, 베르누이 모델으로의 환원 없이 다양한 불순물 유형을 통합적으로 다룰 수 있게 한다.

ABSTRACT

It is shown that in a large class of disordered systems with non-degenerate disorder, in presence of non-local interactions, the Integrated Density of States (IDS) is at least Hölder continuous in one dimension and universally infinitely differentiable in higher dimensions. This result applies also to the IDS in any finite volume subject to the random potential induced by an ambient, infinitely extended disordered media. Dimension one is critical: in the Bernoulli case, within the class of exponential interactions, the IDS measure undergoes continuity phase transitions, from absolutely continuous to singular continuous behaviour (the singularity in the latter case was known before). The continuity transitions do not occur for sub-exponential or slower decaying interactions, nor for $d\ge 2$. Technically, the case of polynomial decay is the simplest one. The proposed approach provides a complement to the classical Wegner estimate which says, essentially, that the IDS in the short-range models is at least as regular as the marginal distribution of the disorder. In the models with non-local interaction the IDS is actually much more regular than the underlying disorder, which can even be discrete, due to the smoothing effect of multiple convolutions. In turn, smoothness of the IDS is responsable for a mechanism complementing the usual Lifshitz tails phenomenon. It is also shown that the disorder can take various forms (e.g., substitution or random displacements) and need not be stochastically stationary (as in Delone--Anderson or trim\-med/crooked Hamiltonians, for example); this does not affect the main phenomena observed already in the simplest setting. Long-range models have an amazingly large number of connections to several classical problems of harmonic analysis, probability theory, dynamical systems and number theory.

연구 동기 및 목표

• 비국소적 상호작용을 갖는 불순물이 있는 양자 시스템에서 임의의 차원에서 통합 밀도 상태( IDS )의 보편적 미세함을 확립하는 것.
• 원천이 이산적이거나 특이한 경우에도, 다중 컨볼루션의 누적 효과로 인해 IDS 가 원천 불순물보다 보다 보편적으로 더 정규화된다는 것을 보여주는 것.
• 서브스티튜션, 랜덤 이동, 비정상 불순물 등 다양한 불순물 유형을 베르누이 모델로 환원하지 않고도 통합적으로 다룰 수 있도록 하는 것.
• 비국소적 필터링을 통해 밀도 상태의 '박한 꼬리'를 생성함으로써 리프시츠 尾 현상(Lifshitz tails)을 보완하는 프레임워크를 제공하는 것.
• 무한 범위 상호작용 모델에서 앤더슨 국소화를 증명하기 위한 분석적 기초를 마련하며, 전체 증명은 동반 논문으로 연기된다.

제안 방법

• 비에테–오일러 항등식과 조화 분석을 활용하여 누적 잠재력의 특성 함수를 분석함으로써 IDS 의 정규성에 대한 통제력을 확보한다.
• 컨볼루션 보조정리를 적용하여, 개별 불순물 변수가 특이할지라도 누적 잠재력 $ V(x, \omega) $ 의 주변 분포가 여전히 매끄럽게 된다는 것을 보여준다.
• 고유값 집중 및 비교 추정을 활용하여 유한 체적 IDS 를 유계함으로써, 스펙트럼 변동에 대한 버니스타 타입 부등식을 적용한다.
• 원천 불순물 분포의 정규성보다 더 높은 IDS 정규성을 반영하는 웨그너 유사 추정을 유도한다.
• 다양한 상호작용 커널의 다항식 및 지수 감쇠를 분석하며, 다항식 감쇠는 매끄러움을 확립하는 데 가장 단순한 경우로 작용한다.
• 정상성 조건이 필요 없이 비정상적이고 상관관계가 있는 불순물, 예를 들어 델로네-앤티어슨 및 잘라낸/비틀린 해밀토니안을 다룰 수 있는 프레임워크를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적이고 장거리 상호작용을 갖는 고차원 불순물 시스템에서 통합 밀도 상태( IDS )는 여전히 매끄럽게 유지되는가?
• RQ2 원천 불순물 분포가 이산적이거나 특이한 경우에도 IDS 의 정규성이 원천보다 높아질 수 있는가?
• RQ3 비국소적 상호작용이 밴드 가장자리 근처의 스펙트럼 행동에 미치는 영향은 무엇이며, 특히 리프시츠 꼬리와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 서브스티튜션, 랜덤 이동, 비정상적 구성 등 다양한 불순물 유형을 베르누이 모델로 환원하지 않고도 통합적으로 다룰 수 있는 분석적 접근법이 가능한가?
• RQ5 다중 컨볼루션은 누적 잠재력과 그 스펙트럼 측도의 매끄러움을 향상시키는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $ d \geq 2 $ 에서, 비국소적 상호작용의 스무딩 효과로 인해 원천 불순물의 유형에 관계없이 통합 밀도 상태( IDS )는 보편적으로 무한히 미분 가능하다.
• 일차원에서는 IDS 는 허더 연속성을 유지하지만, 지수 상호작용의 경우 절대 연속성에서 특이 연속성으로의 연속성 전이가 발생한다.
• 지수 감쇠보다 느린 또는 하위 지수 감쇠 상호작용의 경우 이러한 전이가 발생하지 않으며, 이는 일차원 시스템에서 지수 스크리닝의 결정적 역할을 시사한다.
• 원천 불순물의 주변 분포가 이산일지라도 IDS 는 훨씬 더 정규화되어 있으며, 이는 상호작용 커널의 다중 컨볼루션에 의해 설명된다.
• 웨그너 추정이 향상된다: IDS 의 정규성은 원천 불순물의 정규성보다 높으며, 이에 대한 유계값은 상호작용 커널의 감쇠 속도에 따라 달라진다.
• 이 프레임워크는 정상성 조건이 필요 없이 비정상적이고 상관관계가 있는 불순물 모델(예: 랜덤 디폴, 랜덤 이동, 잘라낸 해밀토니안 등)에 대해 균일하게 적용 가능하다.