[논문 리뷰] Univoque bases and Hausdorff dimension

Derong Kong, Wenxia Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정수 기수 전개에서 단일기수 기수와 그들의 하우스도르프 차원 간의 관계에 대한 새로운 특성화를 제공한다. 논문은 하우스도르프 차원이 단일기수 기수를 지나갈 때 변화하는 방식을 증명하며, 시도프의 질문을 해결하여 정확히 두 개의 전개를 가진 기수 집합의 국소 하우스도르프 차원이 코모르니크-로레티 상수 근처에서 양의 값을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

Given a positive integer $M$ and a real number $q >1$, a \emph{$q$-expansion} of a real number $x$ is a sequence $(c_i)=c_1c_2\cdots$ with $(c_i) \in \{0,\ldots,M\}^\infty$ such that \[x=\sum_{i=1}^{\infty} c_iq^{-i}.\] It is well known that if $q \in (1,M+1]$, then each $x \in I_q:=\left[0,M/(q-1) ight]$ has a $q$-expansion. Let $\mathcal{U}=\mathcal{U}(M)$ be the set of \emph{univoque bases} $q>1$ for which $1$ has a unique $q$-expansion. The main object of this paper is to provide new characterizations of $\mathcal{U}$ and to show that the Hausdorff dimension of the set of numbers $x \in I_q$ with a unique $q$-expansion changes the most if $q$ "crosses" a univoque base. Denote by $\mathcal{B}_2=\mathcal{B}_2(M)$ the set of $q \in (1,M+1]$ such that there exist numbers having precisely two distinct $q$-expansions. As a by-product of our results, we obtain an answer to a question of Sidorov (2009) and prove that \[\dim_H(\mathcal{B}_2\cap(q',q'+δ))>0\quad extrm{for any}\quad δ>0,\] where $q'=q'(M)$ is the Komornik-Loreti constant.

연구 동기 및 목표

• 기수 q > 1 및 자릿수 집합 {0, ..., M}에 대해 1이 유일한 q-전개를 가지는 단일기수 기수를 특성화하는 것.
• 단일기수 기수를 지나갈 때 유일한 q-전개를 가진 수의 집합의 하우스도르프 차원이 어떻게 변화하는지 조사하는 것.
• 시도프(2009)가 제기한, 정확히 두 개의 전개를 가진 기수 집합의 국소 하우스도르프 차원에 관한 질문을 해결하는 것.
• 하우스도르프 차원의 전개 차이 및 국소 교차를 이용하여 단일기수 집합의 폐쇄에 속하는 q에 대한 등가 조건을 설정하는 것.
• 특히 유한형 불변 기호 동역계의 비가역 부분기호계를 중심으로, 일반화된 두에-모르트 수열을 통해 단일기수 집합의 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 기수 q > 1 에서 실수 [0, M/(q-1)] 내에서 유일한 q-전개를 가지는 수의 집합으로서 단일기수 집합 $\mathcal{U}_q$ 를 도입한다.
• 자연스러운 사영 $\pi_{M+1}$ 를 사용하여 자릿수 수열을 실수로 매핑함으로써 전개 집합의 하우스도르프 차원을 연구할 수 있도록 한다.
• 기호 동역계와 유한형 부분기호계를 적용하며, 특히 상태 $\{\xi_n, \xi_n^-, \overline{\xi_n}, \overline{\xi_n^-}\}$ 에서 생성된 비가역 부분기호계 $X_A^{(n)}$ 를 구성하여 단일기수 전개를 모델링한다.
• 일반화된 두에-모르트 수열 $\theta = (\theta_i)$ 를 사용하여 $\Gamma_n'$ 내의 수열을 구성하며, 이는 재귀 부등식과 사전순서를 통해 단일기수 기수에 대응한다.
• 특히 $\dim_H \pi_{M+1}(X_A^{(n)}) = \frac{\log((1+\sqrt{5})/2)}{2^n p \log(M+1)} > 0$ 이라는 사실을 활용하여, 특정 기수 근처의 단일기수 집합에 대해 양의 차원을 확보한다.
• 데 비에르스(2008)와 코모르니크 등(2007)의 결과를 적용하여, 차원 함수 $q \mapsto \dim_H \mathcal{U}_q$ 의 디아블의 계단 현상에 대한 이해를 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기수 r > q 에 대해 차집합 $\mathcal{U}_r' \setminus \mathcal{U}_q'$ 의 하우스도르프 차원에 관해, 단일기수 기수 $q \in \mathcal{U}(M)$ 의 특성화를 어떻게 제시할 수 있는가?
• RQ2 기수 q 가 단일기수 기수를 지나갈 때, 유일한 q-전개를 가진 수의 집합의 하우스도르프 차원은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 정확히 두 개의 서로 다른 전개를 가진 기수 집합 $\mathcal{B}_2$ 는 코모르니크-로레티 상수 $q'$ 근처에서 양의 국소 하우스도르프 차원을 가지는가?
• RQ4 단일기수 집합 $\overline{\mathcal{U}}$ 의 폐쇄와 기수 q 근처에서 $\mathcal{U}_q'$ 와 $\mathcal{U}$ 의 국소 차원 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 일반화된 두에-모르트 수열과 비가역 유한형 부분기호계를 사용하여 단일기수 전개의 구조를 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 r > q 에 대해 $\pi_{M+1}(\mathcal{U}_r' \setminus \mathcal{U}_q')$ 의 하우스도르프 차원이 양이면, 그와 동시에 q가 단일기수 기수임이 보장되며, 이는 $\mathcal{U}$ 의 새로운 특성화를 제공한다.
• 모든 r > q 에 대해 $\mathcal{U} \cap (q, r)$ 의 하우스도르프 차원이 양이면, 그와 동시에 q가 단일기수 기수임이 보장되며, 이는 $\mathcal{U}$ 의 국소 차원 기반 특성화를 제공한다.
• 모든 $\delta > 0$ 에 대해 $\mathcal{B}_2 \cap (q', q' + \delta)$ 는 양의 하우스도르프 차원을 가지며, 이는 시도프(2009)의 질문에 대한 긍정적 해결을 제시한다.
• 모든 p < q 에 대해 $\pi_{M+1}(\mathcal{U}_q' \setminus \mathcal{U}_p')$ 의 하우스도르프 차원이 양이면, $q \in \overline{\mathcal{U}} \setminus (\bigcup \{q_0^*\} \cup \{q'\})$ 일 때, 이는 그러한 q에 대한 새로운 특성화를 제공한다.
• 모든 p < q 에 대해 $\mathcal{U} \cap (p, q)$ 의 하우스도르프 차원이 양이면, 그와 동시에 q가 $\overline{\mathcal{U}} \setminus (\bigcup \{q_0^*\} \cup \{q'\})$ 에 속함이 보장되며, 이는 단일기수 집합의 폐쇄에 속하는지 여부를 판단하는 국소 차원 기준을 제공한다.
• 부분기호계 $X_A^{(n)}$ 의 사영 차원은 $\frac{\log((1+\sqrt{5})/2)}{2^n p \log(M+1)} > 0$ 이며, 이는 특정 기수 근처의 단일기수 집합에서 국소 차원의 양성임을 증명하는 데 사용된다.