[논문 리뷰] Unobstructed deformations of generalized complex structures induced by $C^\infty$ logarithmic symplectic structures and logarithmic Poisson structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 14.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미분기하학적 해석으로서 헬로모르픽 로그 심플렉틱 구조의 해석으로, 매끄러운 다양체 위에 $C^{\infty}$ 로그 심플렉틱 구조를 도입한다. 이러한 구조에 의해 유도되는 일반화된 복소 구조의 변형 이론이, 유형 변화 위치가 매끄럽다면 그 여부의 두 번째 드 라함 코homology에 의해 매개되는 데에 무결성 있게 유지됨을 증명한다. 주요 결과는 복소 표면에서 매끄러운 반가역 다발을 갖는 경우와 특정한 복소 프로젝티브 평면의 연결합에 대해 일반화된 복소 구조의 무장애 변형을 확보하며, 변형 공간의 차원은 $12k + 2m - 3$ 임을 보여준다. 이 방법은 호지 이론을 피하고, $d$-폐쇄된 $b$-장에 대한 위상적 불변성과 리 대수층 코homology를 활용한다.

ABSTRACT

We shall introduce the notion of $C^\infty$ logarithmic symplectic structures on a differentiable manifold which is an analog of the one of logarithmic symplectic structures in the holomorphic category. We show that the generalized complex structure induced by a $C^\infty$ logarithmic symplectic structure has unobstructed deformations which are parametrized by an open set of the second de Rham cohomology group of the complement of type changing loci if the type changing loci are smooth. Complex surfaces with smooth effective anti-canonical divisors admit unobstructed deformations of generalized complex structures such as del pezzo surfaces and Hirzebruch surfaces. We also give some calculations of Poisson cohomology groups on these surfaces. Generalized complex structures ${\cal J}_m$ on the connected sum $(2k-1)\Bbb C P^2\# (10k-1)\ol {\Bbb C P^2}$ as in \cite{Cavalcanti_Gualtieri_2006}, \cite{Goto_Hayano} are induced by $C^\infty$ logarithmic symplectic structures modulo the action of $b$-fields and it turns out that {generalized complex structure}s ${\cal J}_m$ have unobstructed deformations of dimension $12k+2m-3$.}

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 다양체 위에 $C^{\infty}$ 로그 심플렉틱 구조를 도입하여, 헬로모르픽 로그 심플렉틱 구조의 미분기하학적 해석으로서의 역할을 하도록 한다.
• 이러한 $C^{\infty}$ 로그 심플렉틱 구조에 의해 유도되는 일반화된 복소 구조의 무장애 변형 이론을 확립한다.
• 특정 4차원 다양체에서의 로그 심플렉틱 포아송 구조의 코homology 군을 계산하고, 그와 드 라함 코homology 군의 여부 공간과의 관계를 규명한다.
• $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$와 같은 연결합에 대해 무장애성 결과를 일반화된 복소 구조에까지 확장한다.

제안 방법

• 실수 codimension 2의 매끄러운 부분다양체 $D$ 근처에서 국소적으로 $\frac{dz_1}{z_1} \wedge dz_2 + \cdots$ 형태로 모델링된 복소 2형식으로서 $C^{\infty}$ 로그 심플렉틱 구조를 정의한다.
• 복소 2형식 $\omega_{\mathbb{C}}$의 지수함수를 통해 일반화된 복소 구조 $\mathcal{J}_\phi$를 구성한다. 즉, $\phi = e^{\omega_{\mathbb{C}}}$로 정의한다.
• 일반화된 복소 구조의 리 대수층 코homology를 활용하여 무한소 변형과 장애를 계산한다.
• 유형 변화 위치의 여부에 대해 Lie 대수층 코homology $H^k(\wedge^\bullet \overline{L}_{\mathcal{J}})$ 가 $H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$ 와 동형임을 보인다.
• 코homology와 무장애성의 불변성을 $d$-폐쇄된 $b$-장 작용에 대해 적용하여, $M \setminus D$ 상의 코homological 계산으로 축소한다.
• $C^{\infty}$ 로그 변환과 피브리케이션(예: 타원 피브리케이션 $E(k)$)을 사용하여, $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$와 같은 4차원 다양체 위에 일반화된 복소 구조를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $C^{\infty}$ 로그 심플렉틱 구조에 의해 유도된 일반화된 복소 구조가 무장애 변형을 갖는가?
• RQ2 로그 심플렉틱 포아송 구조의 포아송 코homology 군은 그 영점의 여부 공간의 드 라함 코homology 군과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 델 페초 표면과 $\mathbb{C}P^2$, $\overline{\mathbb{C}P}^2$의 연결합과 같은 4차원 다양체에서 일반화된 복소 구조의 변형 공간의 차원은 얼마인가?
• RQ4 호지 이론 없이 위상적 불변량만을 사용하여 무장애성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 4차원 다양체에서 일반화된 복소 구조의 변형 공간은 $H^2(M \setminus D, \mathbb{C})$에 의해 얼마나 잘 매개되는가?

주요 결과

• 유형 변화 위치가 매끄럽다면, $C^{\infty}$ 로그 심플렉틱 구조에 의해 유도된 일반화된 복소 구조는 $H^2(M \setminus D, \mathbb{C})$ 의 열린 부분집합에 의해 매개되는 무장애 변형을 갖는다.
• 매끄러운 유효 반가역 다발을 갖는 복소 표면(예: 델 페초 표면, 히르체브루흐 표면)에서는 이러한 구조에 의해 유도된 일반화된 복소 구조가 무장애 변형을 갖는다.
• 로그 심플렉틱 포아송 구조 $\beta$ 의 포아송 코homology 군은 드 라함 코homology 군 $H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$ 와 동형이다.
• $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$ 에서 일반화된 복소 구조 $\mathcal{J}_m$ 은 차원 $12k + 2m - 3$ 의 무장애 변형을 갖는다.
• 이러한 구조에 대해 Lie 대수층 코homology $H^k(\wedge^\bullet \overline{L}_{\mathcal{J}})$ 는 $H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$ 와 동형이며, 이는 코homological 매개화의 확인이다.
• 변형 공간의 차원 $12k + 2m - 3$ 는 $\dim H^2(E(k)) = 12k - 2$, $\dim H^1(D) = 2m$, 그리고 국소 코homology에서 제약 사상의 이미지에 의한 $-1$ 보정으로부터 유도된다.