[논문 리뷰] Unobstructed Immersed Lagrangian Correspondence and Filtered $A_{\infty}$ Functor

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 07.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비차단된 임베딩된 Weinstein 범주에서 필터링된 $A_{\infty}$ 범주로의 2-함수를 구성하며, Wehrheim-Woodward와 Mau의-Wehrheim-Woodward의 이전 결과를 일반화한다. 임베딩된 라그랑주 상응관계가 호모로지 대수학 레마와 Yoneda 함수, 그리고 Lekili-Lipyanskiy의 Y-다이어그램 구성법을 사용하여 플로어 이론에서 비차단성을 유지함을 증명한다. 이는 컴팩트하고 상대적으로 스피너인 설정에서 이루어진다.

ABSTRACT

In this paper, we 'construct' a 2-functor from the unobstructed immersed Weinstein category to the category of all filtered $A_{\infty}$ categories. We consider arbitrary (compact) symplectic manifolds and its arbitrary (relatively spin) immersed Lagrangian submanifolds. The filtered $A_{\infty}$ category associated to $(X,ω)$ is defined by using Lagrangian Floer theory in such generality, see Akaho-Joyce (2010) and Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009). The morphism of unobstructed immersed Weinstein category (from $(X_1,ω_1)$ to $(X_2,ω_2)$) is by definition a pair of an immersed Lagrangian submanifold of the direct product and its bounding cochain (in the sense of Akaho-Joyce (2010) and Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009)). Such a morphism transforms an (immersed) Lagrangian submanifold of $(X_1,ω_1)$ to one of $(X_2,ω_2)$. The key new result proved in this paper shows that this geometric transformation preserves unobstructedness of the Lagrangian Floer theory. Thus, this paper generalizes earlier results by Wehrheim-Woodward and Mau's-Wehrheim-Woodward so that it works in complete generality in the compact case. The main idea of the proofs are based on Lekili-Lipyanskiy's Y diagram and a lemma from homological algebra, together with systematic use of Yoneda functor. In other words, the proofs are based on a different idea from those which are studied by Bottmann-Mau's-Wehrheim-Woodward, where strip shrinking and figure 8 bubble plays the central role.

연구 동기 및 목표

• 라그랑주 상응관계의 이론을 심플렉틱 토폴로지에서 일반적인 2-함수적 프레임워크로 확장하는 것.
• 임베딩된 라그랑주 상응관계를 통한 기하적 합성에서 라그랑주 플로어 이론의 비차단성이 유지됨을 확립하는 것.
• Wehrheim-Woodward와 Mau의-Wehrheim-Woodward의 이전 결과를 임의의 컴팩트 심플렉틱 다양체와 상대적으로 스피너인 임베딩된 라그랑주 다양체로 일반화하는 것.
• 필터링된 $A_{\infty}$ 범주와 유계 코히어런트를 사용하여 임베딩된 라그랑주 다양체를 다루는 체계적인 프레임워크를 제공하는 것.
• 스트립 수축과 도넛 모양 버블 기법을 호모로지 대수학과 Yoneda 임bedding으로 대체하여 기초 방법으로 삼는 것.

제안 방법

• Yoneda 함수를 사용하여 라그랑주 플로어 이론을 필터링된 $A_{\infty}$ 범주의 범주로 통합한다.
• 핵심 기술적 도구로는 합성에 대한 유계 코히어런트의 호환성을 보장하는 호모로지 대수학 레마이다.
• 논문은 Lekili-Lipyanskiy의 Y-다이어그램을 사용하여 곱 다양체에서 라그랑주 상응관계의 합성을 모델링한다.
• 2-함수는 Akaho-Joyce(2010)와 Fukaya-Oh-Ohta-Ono(2009)에서 정의된 바와 같이 $X_1 \times X_2$에 있는 임베딩된 라그랑주 다양체와 유계 코히어런트를 갖춘 사상에 대해 정의된다.
• 증명은 비차단성을 합성 과정에서 추적하기 위해 Yoneda 임bedding을 체계적으로 사용한다.
• 이 프레임워크는 컴팩트하고 상대적으로 스피너인 설정에서 작동하여 $A_{\infty}$ 구조의 잘 정의성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비차단된 임베딩된 라그랑주 상응관계의 합성이 플로어 이론 프레임워크 하에서 여전히 비차단되는가?
• RQ2 비차단된 임베딩된 Weinstein 범주에서 필터링된 $A_{\infty}$ 범주로의 2-함수를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 Yoneda 함수와 호모로지 대수학 도구는 이 맥락에서 스트립 수축과 도넛 모양 버블 기법을 어떻게 대체할 수 있는가?
• RQ4 이 이론은 Wehrheim-Woodward와 Mau의-Wehrheim-Woodward의 설정을 초월하여 어느 정도 일반화될 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건이 라그랑주 상응관계에 대한 유계 코히어런트가 대상 다양체로의 비차단성을 옮기는가?

주요 결과

• 논문은 모든 컴팩트 심플렉틱 다양체와 상대적으로 스피너인 임베딩된 라그랑주 다양체에 대해 유효한, 비차단된 임베딩된 Weinstein 범주에서 필터링된 $A_{\infty}$ 범주로의 2-함수를 구성한다.
• 곱 다양체에서 임베딩된 라그랑주 다양체를 통한 라그랑주 상응관계의 기하적 합성이 관련 플로어 이론의 비차단성을 유지한다.
• 증명는 호모로지 대수학 레마와 체계적인 Yoneda 함수의 사용에 기반하며, 스트립 수축과 도넛 모양 버블 방법과는 다른 새로운 접근법을 제공한다.
• 이 프레임워크는 Wehrheim-Woodward와 Mau의-Wehrheim-Woodward의 결과를 컴팩트 케이스에서 완전한 일반성으로 일반화한다.
• Akaho-Joyce(2010)와 Fukaya-Oh-Ohta-Ono(2009)에서 정의된 필터링된 $A_{\infty}$ 범주 구조와 이 구성은 호환된다.
• 이론은 $A_{\infty}$-범주와 유계 코히어런트의 맥락에서 철저히 형식화되어 있어 합성에 대해 일관성을 보장한다.