[논문 리뷰] Unramified Brauer groups for groups of order p^5

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 14.

Finite Group Theory Research참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 컴퓨터 계산에 의존하지 않고, 임의의 홀수 소수 $ p $에 대해 순서 $ p^5 $인 비아벨 $ p $-군 중에서 비자명한 비분할 브라우어 군 $ B_0(G) \neq 0 $을 가진 것이 존재함을 이론적으로 증명한다. 특히 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $인 경우를 다루며, 이는 $ \mathbb{C}(G) $가 $ \mathbb{C} $ 위에서 유리 함수체가 아니므로 노에터 문제에 대한 부정적 해답임을 의미한다. 이는 이전에 컴퓨터로 검증되었지만 증명되지 않은 $ p = 3,5,7 $의 케이스를 이론적으로 해결한다. 구성은 명시적인 군 표현과 코homological 방법을 사용하여 보고몰로프 승수를 계산한다.

ABSTRACT

Let $k$ be any field, $G$ be a finite group acting on the rational function field $k(x_g : g\in G)$ by $h\cdot x_g=x_{hg}$ for any $h,g\in G$. Define $k(G)=k(x_g : g\in G)^G$. Noether's problem asks whether $k(G)$ is rational (= purely transcendental) over $k$. It is known that, if $\bC(G)$ is rational over $\bC$, then $B_0(G)=0$ where $B_0(G)$ is the unramified Brauer group of $\bC(G)$ over $\bC$. Bogomolov showed that, if $G$ is a $p$-group of order $p^5$, then $B_0(G)=0$. This result was disproved by Moravec for $p=3,5,7$ by computer computing. We will give a theoretic proof of the following theorem (i.e. by the traditional bare-hand proof without using computers). Theorem. Let $p$ be any odd prime number. Then there is a group $G$ of order $p^5$ satisfying $B_0(G) eq 0$ and $G/[G,G] \simeq C_p imes C_p$. In particular, $\bC(G)$ is not rational over $\bC$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 홀수 소수 $ p $에 대해, 컴퓨터 기반 결과에 의존하지 않는 $ p^5 $-군에서 비자명한 비분할 브라우어 군 $ B_0(G) \neq 0 $의 존재를 이론적으로 증명하는 것. 이는 이전에 $ p = 3,5,7 $에 대해 컴퓨터 기반으로 확인된 결과를 이론적으로 뒷받침한다.
• 모든 홀수 소수 $ p $에 대해, 순서 $ p^5 $인 군 $ G $가 존재하여 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 이고 $ B_0(G) \neq 0 $임을 보이며, 이는 $ \mathbb{C}(G) $가 $ \mathbb{C} $ 위에서 유리 함수체가 아니라는 것을 의미한다.
• 군 표현과 코homological 불변량을 사용하여 비아벨 $ p $-군에 대한 노에터 문제의 이해를 확장하는 것.
• 보어몰로프 승수 정의를 통해 $ B_0(G) $의 구조를 명확히 하며, 모든 이중순환 부분군 $ A \leq G $에 대해 $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $에서 $ H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $로의 제약 사상의 근의 교차로 정의된 것과 일치시킨다.

제안 방법

• 저자는 $ p \geq 5 $일 때, 생성자 $ f_1, \dots, f_5 $와 교환자 및 $ p $-거듭제곱 관계를 포함하는 군 표현을 통해 세 가지 군 계열 $ G(1|p) $, $ G_r(2|p) $, $ G_r(3|p) $을 정의한다. 중심은 $ \langle f_5 \rangle $이다.
• 비분할 브라우어 군 $ B_0(G) $의 코homological 특성화를 사용하며, 보고몰로프와 샬트만이 확립한 바에 따라, 모든 이중순환 부분군 $ A \leq G $에 대해 $ \mathrm{res}^A_G: H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $의 제약 사상의 근의 교차로 정의된다.
• 비자명성의 확인을 위해 렘마 2.2(완전히 기재되지 않음)를 응용하며, 특정 코homology 클래스에 대해 제약 사상이 단사가 아님을 확인한다.
• 비자명한 $ p $-거듭제곱을 정의하기 위해 모듈로 $ p $의 원시 근을 선택하며, 이는 서로 다른 매개변수 $ r $에 대해 비동형성을 보장한다.
• 군의 노름차수, 중심, 교환자 구조를 분석하여 서로 다른 $ (p,r) $-쌍에 대해 비동형임을 보인다.
• 코homology 클래스가 어떤 이중순환 부분군으로의 제약에서도 영이 되지 않음을 확인함으로써, $ B_0(G) \neq 0 $ 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 홀수 소수 $ p $에 대해, $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 이고 $ B_0(G) \neq 0 $인 순서 $ p^5 $의 군 $ G $가 존재하는가?
• RQ2 이전에 모라체프가 $ p = 3,5,7 $에 대해 컴퓨터 대칭계산을 통해 확인한 바와 같이, 이러한 군의 $ B_0(G) $의 비자명성은 컴퓨터 대칭계산에 의존하지 않고도 증명될 수 있는가?
• RQ3 $ G(1|p) $, $ G_r(2|p) $, $ G_r(3|p) $ 가 비자명한 $ B_0(G) $를 가진 $ p^5 $-군의 유일한 계열인가?
• RQ4 비자명한 $ B_0(G) $를 가진 $ p^5 $-군의 총 개수는 얼마이며, 이는 $ p $에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 군 표현과 교환자 관계는 보어몰로프 승수의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 홀수 소수 $ p $에 대해, 순서 $ p^5 $인 군 $ G $가 존재하여 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 이고 $ B_0(G) \neq 0 $이며, 이는 $ \mathbb{C} $ 위에서 노에터 문제에 대한 이론적 반례를 제공한다.
• 특정 교환자 관계와 $ f_1^p = 1 $, $ f_i^p = 1 $ ($ i \geq 2 $)를 만족하는 군 $ G(1|p) $는 $ p \geq 5 $일 때 $ B_0(G) \neq 0 $임을 만족한다.
• $ r $를 매개변수로 가지는 계열 $ G_r(2|p) $ 및 $ G_r(3|p) $는 서로 다른 $ r $에 대해 비동형이며, $ p \geq 5 $일 때 각각 $ B_0(G) \neq 0 $임을 만족한다.
• 비자명한 $ B_0(G) $를 가진 군의 총 개수는 $ 1 + \gcd\{4, p-1\} + \gcd\{3, p-1\} $이며, 이는 $ 1 + c_2 + c_3 $로 표현되며, 여기서 $ c_2 = \gcd\{4,p-1\} - 1 $, $ c_3 = \gcd\{3,p-1\} - 1 $이다.
• 이 군들은 [Be]와 [Ja]에서 분류된 이소클리즘 등급 $ \Phi_{10}(1^5) $, $ \Phi_{10}(2111)a_r $, $ \Phi_{10}(2111)b_r $ 내에서 비자명한 $ B_0(G) $를 가진 유일한 군들이다.
• 이 군들의 GAP 코드 번호는 $ 5 \leq p \leq 37 $ 범위에서 제공되며, $ G(p^5, i) $는 데이터베이스에서 순서 $ p^5 $의 $ i $-번째 군을 나타낸다.