[논문 리뷰] Unrelated machine scheduling of jobs with uniform smith ratios

Christos Kalaitzis, Ola Svensson외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 16.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가중 완료 시간의 합을 최소화하기 위해 비동일한 기계에서 균일한 스미스 비율을 가진 일들을 스케줄링하기 위한 1.21-근사 알고리즘을 제안한다. 이는 구성-선형계획( Configuration-LP )의 완화에 대해 수정된 쇤머스-타르도스 라운딩 기법을 사용한다. 이 방법은 또한 최대완료시간에 대해 이중기준 2-근사 해를 제공하며, 최악의 비용을 단순하고 분석 가능한 형태의 사례로 줄여 정확한 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the classic problem of scheduling jobs on unrelated machines so as to minimize the weighted sum of completion times. Recently, for a small constant e > 0, Bansal et al. gave a (3/2 − e)-approximation algorithm improving upon the barrier of 3/2 which follows from independent randomized rounding. In simplified terms, their result is obtained by an enhancement of independent randomized rounding via strong negative correlation properties.In this work, we take a different approach and propose to use the same elegant rounding scheme for the weighted completion time objective as devised by Shmoys and Tardos for optimizing a linear function subject to makespan constraints. Our main result is a 1.21-approximation algorithm for the natural special case where the weight of a job is proportional to its processing time (specifically, all jobs have the same Smith ratio), which expresses the notion that each unit of work has the same weight. In addition, as a direct consequence of the rounding, our algorithm also achieves a bi-criteria 2-approximation for the makespan objective. Our technical contribution is a tight analysis of the expected cost of the solution compared to the one given by the Configuration-LP relaxation - we reduce this task to that of understanding certain worst-case instances which are simple to analyze.

연구 동기 및 목표

• 모든 일들이 동일한 스미스 비율을 가지는 특수 케이스에 초점을 맞춰 비동일 기계에서 가중 완료 시간의 합을 최소화하는 스케줄링 문제를 다룬다.
• 균일한 스미스 비율에 특화된 새로운 라운딩 기법을 도입함으로써 이 목표에 대해 3/2 근사 장벽을 넘어서는 것을 목표로 한다.
• 라운딩 기법의 부산물로 최대완료시간 목표에 대한 이중기준 근사 해를 달성한다.
• 구성-선형계획( Configuration-LP ) 완화에 대한 기대 솔루션 비용에 대한 정확한 분석을 제공하여 최악의 경우를 분석 가능한 형태로 단순화한다.

제안 방법

• 최대완료시간 제약 조건 하에서 선형 함수 최소화를 위한 쇤머스-타르도스 라운딩 기법을, 최대완료시간 목표에 맞게 수정하여 적용한다.
• 해당 기법을 가용성 제약 조건이 있는 기계 간 작업 할당을 모델링하는 구성-선형계획( Configuration-LP ) 완화에 적용한다.
• 기대 비용을 최적의 구성-선형계획 해와 비교하여 라운딩된 해의 기대 비용을 분석하며, 최악의 경우 사례에 초점을 맞춘다.
• 최악의 상황을 단순하고 구조화된 형태의 사례로 특성화하여 근사 비율에 대한 엄밀한 경계를 도출한다.
• 가중치가 처리 시간에 비례하는 스미스 비율의 균일성 덕분에 분석을 단순화하고 근사 보장을 향상시킨다.
• 동일한 라운딩 과정이 최대완료시간이 최적값의 두 배 이내가 되는 해를 생성함을 관찰함으로써 최대완료시간에 대한 이중기준 근사 해를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일한 스미스 비율을 가진 비동일 기계 스케줄링에 대해 3/2보다 더 낫지 않은 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 스미스 비율이 균일한 경우 구성-선형계획( Configuration-LP ) 완화에 쇤머스-타르도스 라운딩 기법을 적용했을 때의 성능은 어떠한가?
• RQ3 라운딩된 해의 기대 비용이 구성-선형계획 최적해 대비 최악의 행동은 어떠한가?
• RQ4 최악의 사례를 분석 가능한 구성 유형의 집합으로 단순화함으로써 라운딩 기법의 분석을 간소화할 수 있는가?
• RQ5 최대완료시간 목표에 대해 이 라운딩 기법이 어떤 이중기준 근사 보장을 제공하는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 모든 일들이 동일한 스미스 비율을 가질 경우 가중 완료 시간의 합을 최소화하기 위해 1.21-근사 해를 달성한다.
• 라운딩 기법은 최대완료시간 목표에 대해 이중기준 2-근사 해를 제공한다. 즉, 솔루션의 최대완료시간은 최적값의 두 배 이내이다.
• 기대 비용 분석은 단순하고 분석 가능한 형태의 소수의 최악의 사례로 단순화된다.
• 1.21의 근사 비율은 구성-선형계획 완화의 정밀한 분석을 통해 스미스 비율의 균일성을 활용함으로써 달성된다.
• 이전 연구에서 강한 음의 상관관계에 기반한 방법과는 다른 라운딩 전략을 사용함으로써 이 특수 케이스에 대해 3/2 장벽을 초월하는 개선을 이룬다.
• 이 방법은 균일한 스미스 비율이 일반적인 비동일 기계 스케줄링보다 더 강력한 근사 보장을 가능하게 한다는 점을 보여준다.