[논문 리뷰] Unrestricted State Complexity of Binary Operations on Regular and Ideal Languages

Janusz Brzozowski, Corwin Sinnamon|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 14.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정규 언어 및 이상 언어에서 이진 연산의 상태 복잡도를 재검토하며, 이전에 표준 분석에서 간과되었던 바와 같이 언어들이 서로 다른 알파벳을 사용할 경우, 동일한 알파벳 케이스와는 크게 다른 상태 복잡도 경계가 존재함을 보여준다. 주요 기여는 비제한적(다른 알파벳) 설정에서 합집합, 교차, 차집합, 대칭차집합, 연결에 대해 날카로운 경계를 확립한 것으로, 특히 곱 연산의 경우 최대 $ m2^n + 2^{n-1} $ 개의 상태에 이를 수 있으며, 이러한 경계가 오른쪽, 왼쪽, 양쪽 이상 언어에도 적용된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We study the state complexity of binary operations on regular languages over different alphabets. It is known that if $L'_m$ and $L_n$ are languages of state complexities $m$ and $n$, respectively, and restricted to the same alphabet, the state complexity of any binary boolean operation on $L'_m$ and $L_n$ is $mn$, and that of product (concatenation) is $m 2^n - 2^{n-1}$. In contrast to this, we show that if $L'_m$ and $L_n$ are over different alphabets, the state complexity of union and symmetric difference is $(m+1)(n+1)$, that of difference is $mn+m$, that of intersection is $mn$, and that of product is $m2^n+2^{n-1}$. We also study unrestricted complexity of binary operations in the classes of regular right, left, and two-sided ideals, and derive tight upper bounds. The bounds for product of the unrestricted cases (with the bounds for the restricted cases in parentheses) are as follows: right ideals $m+2^{n-2}+2^{n-1}$ ($m+2^{n-2}$); left ideals $mn+m+n$ ($m+n-1$); two-sided ideals $m+2n$ ($m+n-1$). The state complexities of boolean operations on all three types of ideals are the same as those of arbitrary regular languages, whereas that is not the case if the alphabets of the arguments are the same. Finally, we update the known results about most complex regular, right-ideal, left-ideal, and two-sided-ideal languages to include the unrestricted cases.

연구 동기 및 목표

• 언어들이 동일한 알파벳이 아닌 서로 다른 알파벳을 사용할 경우, 정규 언어에서의 이진 연산(합집합, 교차, 차집합, 대칭차집합, 곱)의 상태 복잡도를 분석하는 것.
• 정규 오른쪽, 왼쪽, 양쪽 이상 언어의 클래스로 분석을 확장하여, 이 하위클래스들에 대해 비제한적 케이스에서 날카로운 상태 복잡도 경계를 도출하는 것.
• 동일 알파벳 제약 조건 하에 유도된 고전적 경계가 서로 다른 알파벳을 사용하는 언어에 적용될 경우 부적절하고 오류가 날 수 있음을 보여주는 것.
• 제한된 케이스를 포함하지 않는 이론적 기반을 업데이트하여, 이상 언어에 대한 부울 연산에서는 동일한 복잡도 경계가 유지되나, 곱 연산에서는 더 높은 경계가 적용됨을 보여주는 것.
• 합집합된 알파벳을 사용하는 비완전 DFA에 빈 상태를 추가하면, 비제한적 설정에서 상태 복잡도를 계산하는 데 일관된 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 각 언어의 알파벳이 다를 경우, 그들의 합집합 알파벳 위에서 비완전 DFA로 언어를 모델링하며, 해당 알파벳에 속하지 않는 문자에 대한 전이가 누락됨.
• 누락된 전이를 흡수하는 유일한 빈 상태(심전 상태)를 추가하여 비완전 DFA를 완전화함으로써, 각각 $ m+1 $ 및 $ n+1 $ 개 상태의 DFA를 얻는 것.
• 완전화된 DFA에 표준 직접 곱 생성법을 적용하여 이진 연산의 상태 복잡도를 계산하는 것.
• 상태 가역성 및 서로 다른 상태를 식별하는 분석을 통해 유도된 경계의 날카로움을 증명하며, 동치 클래스와 식별 단어의 분석을 포함하는 것.
• 특정의 증거 언어(예: $ L_m(a,b,-,-,e,f) $)를 구성하여 이상 언어 클래스에서 곱 및 부울 연산의 최상한 경계에 도달하는 것.
• 기존의 문법적 반군 크기, 역행 복잡도, 원자 복잡도에 관한 결과를 활용하여 구성된 스트림의 최대성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언어들이 서로 다른 알파벳을 사용할 경우, 정규 언어에서의 이진 연산(합집합, 교차, 차집합, 대칭차집합, 곱)의 상태 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 비제한적(다른 알파벳) 케이스와 고전적 동일 알파벳 케이스를 비교할 때, 오른쪽, 왼쪽, 양쪽 이상 언어에 대한 부울 연산의 상태 복잡도 경계는 어떻게 다른가?
• RQ3 일반 정규 언어와 동일한 날카로운 경계가 비제한적 케이스에서 이상 언어의 부울 연산에도 달성될 수 있는가?
• RQ4 비제한적 오른쪽, 왼쪽, 양쪽 이상 언어에서 곱 연산의 최대 상태 복잡도는 얼마이며, 제한적 케이스와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ5 고전적 '가장 복잡한 정규 언어'의 증거가 서로 다른 알파벳을 사용하는 비제한적 케이스로 확장될 경우에도 여전히 가장 복잡한 상태를 유지하는가?

주요 결과

• 서로 다른 알파벳을 사용하는 언어에서의 합집합 및 대칭차집합의 상태 복잡도는 $ (m+1)(n+1) $ 로, 동일 알파벳 가정 하의 고전적 $ mn $ 경계보다 높다.
• 차집합의 상태 복잡도는 $ mn + m $ 이며, 교차의 경우 $ mn $ 로, 모두 동일 알파벳 케이스의 고전적 $ mn $ 경계를 초과한다.
• 서로 다른 알파벳을 사용하는 언어에서의 연결(곱)의 상태 복잡도는 $ m2^n + 2^{n-1} $ 로, 고전적 경계 $ (m-1)2^n + 2^{n-1} $ 를 초과한다.
• 오른쪽 이상 언어의 경우, 비제한적 곱 복잡도는 $ m + 2^{n-2} + 2^{n-1} $ 로, 제한적 경계 $ m + 2^{n-2} $ 보다 엄밀히 높다.
• 왼쪽 이상 언어의 경우, 비제한적 곱 복잡도는 $ mn + m + n $ 로, 제한적 경계 $ m + n - 1 $ 보다 크게 높다.
• 양쪽 이상 언어의 경우, 비제한적 곱 복잡도는 $ m + 2n $ 로, 다시 한번 제한적 경계 $ m + n - 1 $ 을 초과하며, 모든 경계는 날카로운 경계이다.