[논문 리뷰] Unstable loci in flag varieties and variation of quotients

Henrik Seppänen, Valdemar V. Tsanov|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 단순군 Ĝ ⊂ G의 작용 하에서 플라그 다양체에서의 불안정한 궤도를 조합론적으로 기술하며, Ĝ-양의 콘의 정상 경계에서부터 내부로 향해 그 여부가 1씩 증가하는 방식으로 그 여부가 증가함을 보여주며, 이는 볼록 다면체 실린더를 이룸. G/B의 Ĝ-양의 콘 내의 GIT 실린더와 결과적 기하학적 몫의 허위효과 콘 내의 모리 실린더 사이에 정확한 일대일 대응을 수립하며, 이러한 몫들이 모든 유리 수축이 GIT에 의해 유도되는 모리 드림 공간임을 증명함.

ABSTRACT

We consider the action of a semisimple subgroup $\hat G$ of a semisimple complex group $G$ on the flag variety $X=G/B$, and the linearizations of this action by line bundles $\mathcal L$ on $X$. The main result is an explicit description of the associated unstable locus in dependence of $\mathcal L$, as well as a combinatorial formula for its (co)dimension. We observe that the codimension is equal to 1 on the regular boundary of the $\hat G$-ample cone, and grows towards the interior in steps by 1, in a way that the line bundles with unstable locus of codimension $q$ form a convex polyhedral cone. We also give a recursive algorithm for determining all GIT-classes in the $\hat G$-ample cone of $X$. As an application, we give conditions ensuring the existence of GIT-classes $C$ with an unstable locus of codimension at least two and which moreover yield geometric GIT quotients. Such quotients $Y_C$ reflect global information on $\hat G$-invariants. They are always Mori dream spaces, and the Mori chambers of the pseudoeffective cone $\overline{{ m Eff}}(Y_C)$ correspond to the GIT-chambers of the $\hat G$-ample cone of $X$. Moreover, all rational contractions $f: Y_{C} -- o Y'$ to normal projective varieties $Y'$ are induced by GIT from linearizations of the action of $\hat G$ on $X$. In particular, this is shown to hold for a diagonal embedding $\hat G \hookrightarrow (\hat G)^k$, with sufficiently large $k$.

연구 동기 및 목표

• 플라그 다양체 G/B에서 단순군 Ĝ ⊂ G의 작용 하에서 선형화된 선다발에 따라 불안정한 궤도를 특성화함.
• 선형화에 따라 불안정한 궤도의 여부가 Ĝ-양의 콘의 경계에서 1부터 시작하여 이산 단계로 증가함을 보이며, 이는 여부가 1씩 증가함을 보임.
• G/B의 Ĝ-양의 콘 내의 GIT 실린더와 몰리 차원이 있는 몰리 실린더 사이의 일대일 대응을 수립함.
• 모든 유리 수축 f: Y 99K Y′이 정규 프로젝티브 다양체로 가는 것이 GIT에 의해 유도됨을 증명하며, Y가 모리 드림 공간임을 보임.
• 대각선 포함사상 Ĝ → (Ĝ)k에 대해 큰 k에 대해 적용 가능한, G/B의 Ĝ-양의 콘 내의 모든 GIT 실린더를 계산하는 재귀 알고리즘을 제공함.

제안 방법

• 한정된 원소군 작용과 불안정성 분석을 위해 힐버트-무프만 기준과 키르카프-네스 분할을 사용함.
• 가장자리와 쿠빅스를 포함한 조합론적 도구를 적용하여 무게와 웨일 군 원소로 표현된 불안정한 궤도의 공식 유도함.
• Ĝ의 코무게트 격자와 G의 웨일 군에서 온 쌍 (ξ, w)를 포함한 힐버트-무프만 기준에 기반한 부등식을 통해 Ĝ-양의 콘을 Pic(X)R 내의 유리 다면체 콘으로 특성화함.
• 포포프의 트리 알고리즘을 기반으로 한 재귀 알고리즘을 사용하여 G/B의 Ĝ-양의 콘 내의 모든 GIT 실린더를 계산함.
• Y = Xss(λ)//Ĝ가 모리 드림 공간임을 보이기 위해, 그 허위효과 콘 Eff(Y)가 Ĝ-양의 콘 CĜ(X)와 자연스럽게 위상동형이며, Eff(Y) 내의 모리 실린더가 CĜ(X) 내의 GIT 실린더와 정확히 일치함을 보임.
• 모든 유리 수축 f: Y 99K Y′이 정규 프로젝티브 다양체로 가는 것이 GIT에 의해 유도됨을 증명함, 즉 f = fλ 이며 λ는 Ĝ-양의 콘의 원소임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ĝ-양의 콘 내에서 선형화의 선택에 따라 G/B 내의 불안정한 궤도의 여부는 어떻게 변하는가?
• RQ2 주어진 선형화에 대해 불안정한 궤도의 정확한 조합론적 구조는 무엇이며, 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 G/B의 Ĝ-양의 콘 내의 GIT 실린더는 몰리 차원이 있는 몰리 실린더와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 언제 GIT 몰이 Y = Xss(λ)//Ĝ를 통해 모리 드림 공간으로 만들어내며, 모든 유리 수축이 GIT에 의해 유도되는가?
• RQ5 주어진 포함사상 Ĝ ⊂ G에 대해, G/B의 Ĝ-양의 콘 내의 모든 GIT 실린더를 계산하는 재귀 알고리즘을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• Ĝ-양의 콘의 정상 경계에서 G/B 내의 불안정한 궤도의 여부는 정확히 1이며, 내부로 향해 단계적으로 1씩 증가함으로써 볼록 다면체 실린더를 형성함.
• 여부가 q인 선다발들은 Ĝ-양의 콘 내에서 볼록 다면체 콘을 이룸.
• 기하학적 몰이 Y = Xss(λ0)//Ĝ는 모리 드림 공간이며, 그 허위효과 콘 Eff(Y)는 자연스럽게 Ĝ-양의 콘 CĜ(X)와 위상동형임.
• Eff(Y)의 모리 실린더와 CĜ(X)의 GIT 실린더 사이에 일대일 대응이 존재함으로써, 실린더 구조가 정확히 일치함.
• 모든 유리 수축 f: Y 99K Y′이 정규 프로젝티브 다양체로 가는 것은 GIT에 의해 유도됨, 즉 f = fλ 이며 λ는 Ĝ-양의 콘의 원소이며, fλ는 GIT 몰 맵임.
• 충분히 큰 k에 대해 대각선 포함사상 Ĝ → (Ĝ)k에 대해 몰이 Y는 모리 드림 공간이며, Y에서의 모든 유리 수축은 GIT에 의해 유도됨.