[논문 리뷰] Upgrading the Bloch Sphere: Projective Space Foliated by Klein Bottles as a Geometrical Representation of Two-Qubit States and Their Entanglement

Oscar Perdómo, Vicente Leyton‐Ortega외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 05.

Fractal and DNA sequence analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실수 계수를 가진 두 큐비트 순수 상태의 기하적 표현을 실 사영 공간을 사용하여 제안한다. 여기서 최대 얽힘 상태는 두 개의 수직인 원을 이루며, 얽힘 없는 상태는 거리 $\pi/4$에서 킬른 백터를 이룬다. 최대 얽힘 상태로부터의 거리는 유도된 공식을 통해 얽힘 엔트로피를 결정하며, 모든 이러한 상태들은 국소 게이트와 하나의 제어-제로 게이트를 통해 연결 가능하다. 이는 얽힘 거리에 따라 매개변수화된 킬른 백터로 구성된 사영 공간의 층화를 드러낸다.

ABSTRACT

We study the set of two-qubit pure states with real amplitudes and their geometrical representation onto a real projective space. In this representation, we show that the maximally entangled states --those locally equivalent to the Bell States --form two disjoint circles perpendicular to each other. We also show that, taking the natural Riemannian metric on this space, the set of states connected by local gates are equidistant to this pair of circles. Moreover, the unentangled, or so called product states, are $\pi/4$ units away to the maximally entangled states. This is, the unentangled states are the farthest away to the maximally entangled states. In this way, if we define two states to be equivalent if they are connected by local gates, we have that there are as many equivalent classes as points in the interval $[0,\pi/4]$ with the point $0$ corresponding to the maximally entangled states. The point $\pi/4$ corresponds to the unentangled states which geometrically are described by a Klein bottle. Finally, for every $0< d < \pi/4$ the point $d$ corresponds to a disjoint pair of Klein bottles. We also show that if a state is $d$ units away from the maximally entangled states, then its entanglement entropy is $S(d) = 1- \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2 d)^{1+\sin 2 d}}{(1-\sin 2 d)^{-1+\sin 2 d}}}$. Finally, we also show how this geometrical interpretation allows to clearly see the known result that any pair of two-qubit states with real amplitudes can be connected with a circuit that only has single-qubit gates and one controlled-Z gate.

연구 동기 및 목표

• 실수 계수를 가진 두 큐비트 순수 상태의 기하적 표현을 실 사영 공간에서 개발한다.
• 이 기하학에서 최대 얽힘 상태의 분포와 그들 간의 관계를 얽힘 없는(결합된) 상태들과 함께 특성화한다.
• 국소 유니터리 동치 하에서 상태들을 거리 기반으로 분류하며, 구간 $[0, \pi/4]$에 의해 매개변수화한다.
• 기하적 거리에서 최대 얽힘 상태로부터의 함수로 얽힘 엔트로피의 폐쇄형 표현을 유도한다.
• 모든 두 큐비트 상태가 단일 큐비트 게이트와 하나의 제어-제로 게이트만을 사용하여 연결될 수 있음을 입증한다. 이는 기하학적 구조를 기반으로 한다.

제안 방법

• 실수 계수를 가진 두 큐비트 순수 상태의 집합을 실 사영 공간 $\mathbb{RP}^3$의 점으로 표현한다.
• $\mathbb{RP}^3$에 리만 계량을 정의하여 국소 유니터리 변환 하에서 상태 간의 거리를 측정한다.
• 최대 얽힘 상태(벨 상태와 국소적으로 동치)를 이 공간 내에서 서로소이면서 수직인 두 원으로 식별한다.
• 최대 얽힘 상태에서 거리 $d$에 있는 상태들은 $0 < d < \pi/4$일 때 두 개의 서로소인 킬른 백터를 이룬다. $d = \pi/4$일 때는 얽힘 없는 상태에 해당한다.
• 기하적 거리 $d$에 대한 함수로 얽힘 엔트로피 $S(d) = 1 - \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2d)^{1+\sin 2d}}{(1-\sin 2d)^{-1+\sin 2d}}}$를 유도한다.
• 기하학적 구조를 활용하여, 실수 계수를 가진 두 큐비트 상태가 단일 큐비트 게이트와 하나의 제어-제로 게이트만을 사용하는 회로로 연결될 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 계수를 가진 두 큐비트 순수 상태는 어떻게 기하학적으로 표현될 수 있으며, 이 표현이 얽힘의 구조를 포괄할 수 있는가?
• RQ2 이 표현에서 최대 얽힘 상태와 얽힘 없는 상태의 기하학적 위치는 어디인가?
• RQ3 최대 얽힘 상태로부터의 거리는 상태의 얽힘 엔트로피와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이러한 모든 상태들의 집합은 킬른 백터와 같은 위상적 객체로 층화될 수 있는가? 그 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ5 어떤 두 상태를 연결하는 데 필요한 최소한의 양자 회로는 무엇이며, 기하학적 구조는 이를 어떻게 안내하는가?

주요 결과

• 최대 얽힘 상태의 집합은 실수 계수를 가진 두 큐비트 순수 상태의 실 사영 공간 표현에서 서로소이면서 수직인 두 원을 이룬다.
• 얽힘 없는(결합된) 상태들은 리만 계량에서 최대 얽힘 상태로부터 정확히 $\pi/4$ 거리 떨어져 있으며, 기하학적으로 킬른 백터를 이룬다.
• $d \in (0, \pi/4)$인 각 $d$에 대해, 최대 얽힘 상태로부터 거리 $d$에 있는 상태들의 집합은 두 개의 서로소인 킬른 백터를 이룬다.
• 최대 얽힘 상태로부터 거리 $d$에 있는 상태의 얽힘 엔트로피는 $S(d) = 1 - \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2d)^{1+\sin 2d}}{(1-\sin 2d)^{-1+\sin 2d}}}$로 주어진다.
• 실수 계수를 가진 모든 두 큐비트 상태들은 단일 큐비트 게이트와 하나의 제어-제로 게이트만을 사용하는 회로로 연결 가능하며, 이는 기하학적 층화에 의해 확인된다.
• 상태의 공간은 거리 $d \in [0, \pi/4]$에 의해 매개변수화된 킬른 백터로 층화되어 있으며, $d=0$은 최대 얽힘 상태에 해당하고, $d=\pi/4$는 얽힘 없는 상태에 해당한다.