[논문 리뷰] Upper and lower fast Khintchine spectra in continued fractions

Lingmin Liao, Michał Rams|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 연분수에서 상한 및 하한 빠른 히نك친 스펙트럼을 정의하고 계산한다. 이 스펙트럼은 정규화된 로그 부분몫 합의 상한 및 하한이 1이 되는 집합의 하우스도르프 차원으로 정의된다. 이 스펙트럼은 함수 ψ(n)의 성장률에 따라 달라지며, 상한 스펙트럼은 liminf(log ψ(n)/n)에 의해 결정되고 하한 스펙트럼은 limsup(log ψ(n)/n)에 의해 결정되며, 정확한 차원 공식을 도출한다.

ABSTRACT

For an irrational number $x\in [0,1)$, let $x=[a\_1(x), a\_2(x),\cdots]$ be its continued fraction expansion. Let $ψ: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{N}$ be a function with $ψ(n)/n o \infty$ as $n o\infty$. The (upper, lower) fast Khintchine spectrum for $ψ$ is defined as the Hausdorff dimension of the set of numbers $x\in (0,1)$ for which the (upper, lower) limit of $\frac{1}{ψ(n)}\sum\_{j=1}^n\log a\_j(x)$ is equal to $1$. The fast Khintchine spectrum was determined by Fan, Liao, Wang, and Wu. We calculate the upper and lower fast Khintchine spectra. These three spectra can be different.

연구 동기 및 목표

• 정규화된 로그 부분몫 합의 상한 또는 하한이 1이 되는 집합의 하우스도르프 차원을 정의하고 계산하는 것.
• 기본 극한 사례를 초월하여 상한 및 하한 행동을 포함하는 빠른 히نك친 스펙트럼을 확장하는 것.
• ψ(n)의 성장률이 연분수 전개의 다중분수적 구조에 어떻게 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 상한 및 하한 스펙트럼이 상호로 다를 수 있고, 표준 빠른 히نك친 스펙트럼과도 다를 수 있음을 규명하는 것.
• 연분수에서 비표준 평균화 영역에 대해 다중분수 스펙트럼을 완전히 특성화하는 것.

제안 방법

• 상한 및 하한 빠른 히نك친 스펙트럼을 (1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x)의 상한 및 하한이 1이 되는 집합의 하우스도르프 차원으로 정의한다.
• b = liminf(log ψ(n)/n) 및 B = limsup(log ψ(n)/n)이라는 매개변수를 도입하여 스펙트럼을 지배한다.
• Aᵢ¹/ᶻ를 중심으로 하는 간격에 부분몫이 제약을 받는 [0,1]의 칸토르 유형 부분집합을 구성한다. 여기서 Aᵢ는 초지수적으로 증가한다.
• 구성된 집합에 확률 측도 μ를 도입하고, 포함되는 간격 Dₙ에 대해 log μ(Dₙ)/log |Dₙ|의 비율을 통해 국소 차원을 추정한다.
• Frostman 보조정리를 사용하여 μ와 |Dₙ|의 감쇠 속도를 제어함으로써 하우스도르프 차원의 하한을 확립한다.
• ψ(n)의 성장률을 분석하고 β(ψ)를 통해 가능한 최대 차원과 연관지어 상한을 증명한다. 이로써 b ≤ B ≤ β(ψ)임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ψ(n)/n → ∞ 조건 하에, (1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x)의 상한이 1이 되는 x ∈ (0,1)의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 ψ(n)/n → ∞ 조건 하에, (1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x)의 하한이 1이 되는 x ∈ (0,1)의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ3 상한 및 하한 빠른 히نك친 스펙트럼은 표준 빠른 히نك친 스펙트럼(극한을 통한 정의)과 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ4 특히 liminf(log ψ(n)/n) 및 limsup(log ψ(n)/n)을 통해 ψ(n)의 성장률이 스펙트럼을 어떻게 결정하는가?
• RQ5 b, B, 및 β(ψ)의 세 값이 서로 다를 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 다중분수적 구조에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 상한 빠른 히نك친 스펙트럼은 dimₕ Ē(ψ) = 1/(1 + b)로 주어지며, 여기서 b = liminf(log ψ(n)/n)이다.
• 하한 빠른 히نك친 스펙트럼은 dimₕ Ē̲(ψ) = 1/(1 + B)로 주어지며, 여기서 B = limsup(log ψ(n)/n)이다.
• 상한 및 하한 스펙트럼은 서로 다를 수 있으며, 둘 다 표준 빠른 히نك친 스펙트럼과 다를 수 있다. 표준 스펙트럼은 β(ψ) = limsup(ψ(n+1)/ψ(n))에 따라 결정된다.
• 조건 ψ(n)/n → ∞ 하에, 집합 Ē(ψ) 및 Ē̲(ψ)는 항상 비어 있지 않다.
• 매개변수 b 및 B는 b ≤ B ≤ β(ψ)를 만족하며, 특정한 ψ에 대해 엄밀한 부등식 b < B < β(ψ)도 달성 가능하다.
• 결과적으로 이는 비표준 정규화 함수 ψ에 대해 가우스 동역계에서 비르호프 평균의 완전한 다중분수적 기술을 제공한다.